René François de Sluze (1622–1685) y Johann Hudde (1633–1704) introdujeron algunas mejoras en los métodos de Descartes y Fermat para trazar tangentes, y en la teoría de máximos y mínimos. Con Hudde encontramos el uso por primera vez de tres variables en geometría analítica. Es el autor de una regla ingeniosa para hallar raíces iguales. La ilustramos con la ecuación x 3 − x 2 − 8 x + 12 = 0 . Tomando una progresión aritmética 3, 2, 1, 0, cuyo término más alto es igual al grado de la ecuación, y multiplicando cada término de la ecuación respectivamente por el término correspondiente de la progresión, obtenemos 3 x 3 − 2 x 2 − 8 x = 0 , o 3 x 2 − 2 x − 8 = 0 . Esta última ecuación es un grado menor que la original. Hallamos el m. c. d. de las dos ecuaciones. Este es x − 2 ; por lo tanto, 2 es una de las dos raíces iguales. Si no hubiera habido divisor común, entonces la ecuación original no habría tenido raíces iguales. Hudde dio una demostración de esta regla.24
Heinrich van Heuraet debe ser mencionado como uno de los primeros geómetras que se ocuparon con éxito de la rectificación de curvas.
Observó de manera general que los dos problemas de la cuadratura y de la rectificación son en realidad idénticos, y que el uno puede reducirse al otro.
Así, retrotrajo la rectificación de la hipérbola a la cuadratura de la hipérbola. La parábola semicúbica
fue la primera curva cuya rectificación absoluta se logró. Esto parece haber sido llevado a cabo de manera independiente por Van Heuraet en Holanda y por William Neil (1637–1670) en Inglaterra.
Según Wallis, la prioridad le pertenece a Neil. Poco después, la cicloide fue rectificada por Wren y Fermat.
El príncipe de los filósofos en Holanda, y uno de los más grandes científicos del siglo diecisiete, fue Christian Huygens (1629–1695), natural de La Haya. Eminente como físico y astrónomo, así como matemático, fue un digno predecesor de Sir Isaac Newton.
Estudió en Leiden bajo la tutela del joven Van Schooten. La lectura de algunos de sus primeros teoremas llevó a Descartes a predecir su futura grandeza. En 1651 Huygens escribió un tratado en el cual señaló las falacias de Gregory St. Vincent (1584–1667)
sobre el tema de las cuadraturas. Él mismo dio una aproximación notablemente cercana y conveniente a la longitud de un arco circular.
- En 1660 y 1663 fue a París y a Londres.
- En 1666 fue nombrado por Luis XIV miembro de la Academia Francesa
Academia de Ciencias. Se le indujo a permanecer en París desde entonces hasta 1681, año en que regresó a su ciudad natal, en parte por motivos de salud y en parte a causa de la revocación del Edicto de Nantes.
La mayoría de sus profundos descubrimientos fueron realizados con la ayuda de la geometría antigua, aunque a veces utilizó la geometría de Descartes o la de Cavalieri y Fermat.
Así, al igual que su ilustre amigo, Sir Isaac Newton, siempre mostró predilección por la geometría griega. Newton y Huygens eran mentes afines y sentían una gran admiración el uno por el otro. Newton siempre habla de él como el «Summus Hugenius».