El Renacimiento

Tras este brillante éxito en la resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado, probablemente no quedaba nadie que dudara de que, con la ayuda de irracionales de grados superiores, se pudiera hallar la solución de ecuaciones de cualquier grado. Pero todos los intentos de hallar la solución algebraica de la ecuación de quinto grado fueron infructuosos y, finalmente, Abel demostró que todas las esperanzas de encontrar soluciones algebraicas para ecuaciones de un grado superior al cuarto eran puramente utópicas.

Como no se pudo hallar ninguna solución por radicales de ecuaciones de grados superiores, no quedó otra cosa por hacer que concebir reglas mediante las cuales se pudieran determinar, al menos, los valores numéricos de las raíces.

Cardano aplicó a la cúbica la regla hindú de la «falsa posición» (llamada por él regula aurea), pero este método de aproximación era sumamente impreciso. Un método incomparablemente mejor fue inventado por Franciscus Vieta, un matemático francés cuyo genio trascendente enriqueció las matemáticas con varias innovaciones importantes.

Tomando la ecuación $f (x) = Q$ , en la que $f (x)$ es un polinomio que contiene diferentes potencias de $x$ , con coeficientes numéricos, y $Q$ es un número dado, Vieta primero sustituye en $f (x)$ un valor aproximado conocido de la raíz, y luego muestra que se puede obtener otra cifra de la raíz mediante división. Una repetición del mismo proceso da la siguiente cifra de la raíz, y así sucesivamente.

Así, en $x^{2} + 14 x = 7929$ , tomando $80$ como la raíz aproximada, y estableciendo $x = 80 + b$ , obtenemos

Como $174 b$ es mucho mayor que $b^{2}$ , hacemos $174 b = 409$ , y obtenemos así $b = 2$ . De ahí que la segunda aproximación sea $82$ .

Haciendo $x = 82 + c$ , resulta $(82 + c)^{2} + 14 (82 + c) = 7929$ , o $178 c + c^{2} = 57$ . Como antes, hacemos $178 c = 57$ , de modo que $c = .3$ , y la tercera aproximación da $82.3$ .

Suponiendo $x = 82.3 + d$ , y sustituyendo, se obtiene $178.6 d + d^{2} = 3.51$ , y $178.6 d = 3.51$ , $∴ d = .01$ ; lo que da para la cuarta aproximación $82.31$ .

De la misma manera, $e = .009$ , y el valor de la raíz de la ecuación dada es $82.319 \dots$ .

Por este procedimiento, Vieta fue muy admirado por sus contemporáneos. Fue empleado por Harriot, Oughtred, Pell y otros. Su principio es idéntico al principio principal involucrado en los métodos de aproximación de Newton y

Horner. El único cambio radica en la disposición de la obra. Esta alteración se realizó para ofrecer facilidad y seguridad en el proceso de evolución de la raíz.

Hacemos una pausa de un momento para esbozar la vida de Vieta, el matemático francés más eminente del siglo XVI. Nació en Poitou en 1540 y murió en 1603 en París. Estuvo empleado durante toda su vida al servicio del estado, bajo Enrique III y Enrique IV. No era, por tanto, matemático de profesión, pero su amor por la