Vio así claramente que los problemas inversos de las tangentes podían resolverse por cuadraturas, o, en otras palabras, por el cálculo integral. En el transcurso de medio año descubrió que el problema directo de las tangentes también cedía ante el poder de su nuevo cálculo, y que con ello se podía obtener una solución más general que la de Descartes. Consiguió resolver todos los problemas especiales de este tipo que Descartes había dejado sin resolver. De entre ellos mencionamos tan solo el célebre problema propuesto a Descartes por De Beaune, a saber: hallar la curva cuya ordenada es a su subtangente como una línea dada es a aquella parte de la ordenada que se encuentra entre la curva y una línea trazada desde el vértice de la curva con una inclinación dada respecto al eje.
Tal fue, en resumen, el progreso en la evolución del nuevo cálculo realizado por Leibniz durante su estancia en París.
Antes de su partida, en octubre de 1676, se hallaba en posesión de las reglas y fórmulas más elementales del cálculo infinitesimal.
De París, Leibniz regresó a Hanover pasando por Londres y Ámsterdam. En Londres conoció a Collins, quien le mostró una parte de su correspondencia científica. De esto hablaremos más adelante.
En Ámsterdam conversó sobre matemáticas con Sluze, y quedó convencido de que su propio método para construir tangentes no solo lograba todo lo que el de Sluze, sino incluso más, ya que podía extenderse a tres variables, mediante las cuales se podían hallar planos tangentes a superficies; y sobre todo, dado que ni los números irracionales ni las fracciones impedían la aplicación inmediata de su método.
En un artículo del 11 de julio de 1677, Leibniz dio reglas correctas para la diferenciación de sumas, productos, cocientes, potencias y raíces. Ya había dado los diferenciales de unas pocas potencias negativas y fraccionarias, tan temprano como en noviembre de 1676, pero había cometido algunos errores.
Para había dado el valor erróneo , y en otro lugar el valor ; para aparece en un lugar el valor incorrecto, , mientras que unas líneas más abajo se da , su valor correcto.
En 1682 se fundó en Berlín los Acta Eruditorum, una revista conocida habitualmente con el nombre de Actas de Leipzig. Fue una imitación parcial del Journal des Savans francés (fundado en 1665), y la revista literaria y científica publicada en Alemania.
Leibniz fue un colaborador frecuente. Tschirnhaus, que había estudiado matemáticas en París con Leibniz y que estaba familiarizado con el nuevo análisis de Leibniz, publicó en los Acta Eruditorum un artículo sobre cuadraturas, que consiste principalmente en materia comunicada por Leibniz a Tschirnhaus durante una controversia que habían tenido sobre este tema.
Temiendo que Tschirnhaus pudiera reclamar como propia y publicar la notación y las reglas del cálculo diferencial, Leibniz decidió, por fin, hacer públicos los frutos de sus invenciones. En 1684, es decir, nueve años después de que el nuevo cálculo amaneciera por primera vez en la mente de Leibniz, y diecinueve años después de que Newton trabajara por primera vez en las fluxiones, y tres años