de formas o la teoría de sustituciones arrojarían tanta luz sobre las ecuaciones ordinarias; o que las funciones abelianas y las trascendentes hiperelípticas nos dirían algo acerca de las propiedades de las
o que el cálculo de operaciones nos hubiera ayudado en algo a determinar la figura de la tierra?»
Una segunda razón a favor del estudio de las matemáticas avanzadas, aun cuando no haya promesa de aplicación práctica, es esta: que las matemáticas, al igual que la poesía y la música, merecen ser cultivadas por sí mismas.
La gran característica de las matemáticas modernas es su tendencia generalizadora. Hoy en día se le da poca importancia a los teoremas aislados, "salvo en la medida en que ofrecen indicios de una nueva e insospechada esfera de pensamiento, como meteoritos desgajados de algún orbe especulativo planetario por descubrir".
En las matemáticas, como en todas las ciencias verdaderas, ningún tema se considera en sí mismo de forma aislada, sino siempre en relación con otras cosas, o como una derivación de ellas.
El desarrollo de la noción de continuidad desempeña un papel principal en la investigación moderna.
- En geometría, el principio de continuidad, la idea de correspondencia y la teoría de proyección constituyen las nociones modernas fundamentales. La continuidad se impone de la manera más sorprendente en relación con los puntos circulares en el infinito de un plano.
- En álgebra, la idea moderna se expresa en la teoría de las transformaciones lineales y los invariantes, y en el reconocimiento del valor de la homogeneidad y la simetría.