Lagrange había establecido la «forma lagrangiana» de las ecuaciones de movimiento. Había dado una teoría de la variación de las constantes arbitrarias que, sin embargo, resultó ser menos fructífera en resultados que una teoría propuesta por Poisson.99 La teoría de Poisson sobre la variación de las constantes arbitrarias y el método de integración que de ella se desprende marcaron el primer paso adelante desde Lagrange.
Luego vinieron las investigaciones de Sir William Rowan Hamilton.
Su descubrimiento de que la integración de las ecuaciones diferenciales dinámicas está conectada con la integración de cierta ecuación diferencial parcial de primer orden y segundo grado, surgió de un intento de deducir, mediante la teoría ondulatoria, resultados en óptica geométrica basados previamente en las concepciones de la teoría de la emisión.
Las Philosophical Transactions de 1833 y 1834 contienen los artículos de Hamilton, en los cuales aparecen las primeras aplicaciones a la mecánica del principio de acción variable y de la función característica, establecidas por él algunos años antes.
El objetivo que Hamilton se propuso está indicado por el título de su primer artículo, a saber, el descubrimiento de una función por medio de la cual todas las ecuaciones integrales pueden ser realmente representadas. La nueva forma obtenida por él para la ecuación del movimiento es un resultado de no menor importancia que aquel que era el objeto declarado de la memoria.
El método de integración de Hamilton fue liberado por Jacobi de una complicación innecesaria, y fue aplicado después por este a la determinación de una línea geodésica en el elipsoide general. Con ayuda de coordenadas elípticas
Jacobi integró la ecuación diferencial parcial y expresó la ecuación de la geodésica en forma de una relación entre dos integrales abelianas.
Jacobi aplicó a las ecuaciones diferenciales de la dinámica la teoría del multiplicador último. Las ecuaciones diferenciales de la dinámica son solo una de las clases de ecuaciones diferenciales consideradas por Jacobi.
Investigaciones dinámicas en la línea de Lagrange, Hamilton y Jacobi fueron realizadas por Liouville, A. Desboves,
- Serret,
- J. C. F. Sturm,
- Ostrogradsky,
- J. Bertrand,
- Donkin,
Brioschi, camino del desarrollo de la teoría de un sistema de integrales canónicas.
Una importante aportación a la teoría del movimiento de un cuerpo sólido alrededor de un punto fijo fue hecha por Madame Sophie de Kowalevski[]96 (1853–1891), quien descubrió un nuevo caso en el que las ecuaciones diferenciales del movimiento pueden integrarse. Mediante el uso de funciones theta de dos