A la edad de diecinueve años, Gauss descubrió un método para inscribir en un círculo un polígono regular de diecisiete lados, y este éxito lo animó a dedicarse a las matemáticas. Trabajó con total independencia de sus profesores y, mientras era estudiante en Gotinga, realizó varios de sus mayores descubrimientos. La aritmética superior era su estudio favorito. Entre su pequeño círculo de amigos íntimos se encontraba Wolfgang Bolyai.
Tras terminar sus estudios, regresó a Brunswick. En 1798 y 1799 se trasladó a la universidad de Helmstädt para consultar la biblioteca, y allí trabó conocimiento con Pfaff, un matemático de gran talento.
En 1807 el emperador de Rusia ofreció a Gauss una cátedra en la Academia de San Petersburgo, pero por consejo del astrónomo Olbers, que deseaba asegurarlo como director de un nuevo observatorio propuesto en Gotinga, rechazó la oferta y aceptó el puesto en Gotinga.
Gauss tenía una clara aversión a una cátedra de matemáticas, y prefería el puesto de astrónomo para poder dedicar todo su tiempo a la ciencia. Pasó su vida en Gotinga en medio de un trabajo continuo.
En 1828 fue a Berlín para asistir a una reunión de científicos, pero después de esto nunca volvió a salir de Gotinga, excepto en 1854, cuando se inauguró un ferrocarril entre Gotinga y Hanóver.
Tenía una fuerte voluntad, y su carácter mostraba una curiosa mezcla de dignidad autoconsciente y simplicidad infantil. Era poco comunicativo y, a veces, hosco.
Una nueva época en la teoría de números arranca desde la publicación de sus Disquisitiones Arithmeticæ, Leipzig, 1801. El inicio de esta obra se remonta hasta 1795. Algunos de sus resultados habían sido dados previamente por Lagrange y Euler, pero fueron alcanzados de manera independiente por Gauss, quien había profundizado mucho en la materia antes de familiarizarse con los escritos de sus grandes predecesores. Las Disquisitiones Arithmeticæ ya estaban en prensa cuando apareció la Théorie des Nombres de Legendre. La gran ley de reciprocidad cuadrática, dada en la cuarta sección de la obra de Gauss —una ley que abarca toda la teoría de los residuos cuadráticos—, fue descubierta por él mediante inducción antes de cumplir dieciocho años, y demostrada un año más tarde. Más tarde supo que Euler había enunciado imperfectamente ese teorema, y que Legendre había intentado demostrarlo, pero se había topado con dificultades aparentemente insuperables. En la quinta sección, Gauss dio una segunda demostración de esta «joya» de la aritmética superior. En 1808 le siguieron una tercera y una cuarta demostración; en 1817, una quinta y una sexta. No es de extrañar que sintiera un apego personal hacia este teorema. También dieron demostraciones Jacobi, Eisenstein, Liouville, Lebesgue, A. Genocchi,
Kummer, M. A. Stern, Chr. Zeller, Kronecker,
Bouniakowsky, E. Schering, J. Petersen, Voigt, E. Busche y Th. Pepin.48 La solución al problema de la representación de números mediante formas cuadráticas binarias es uno de los grandes logros de Gauss. Creó un nuevo algoritmo al introducir la teoría de las congruencias. La cuarta sección de las Disquisitiones Arithmeticæ, que trata sobre las congruencias de segundo grado, y la quinta sección, sobre las formas cuadráticas, fueron, hasta la época de Jacobi, objeto de un olvido universal, pero desde entonces han constituido el punto de partida de una larga serie de importantes investigaciones. La