Journal, Second Series, 1864, Vol. IX.).
Julius Wilhelm Richard Dedekind, de Brunswick (nacido en 1831), ha dado en la segunda edición de las Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet una nueva teoría de los números complejos, en la cual se aparta hasta cierto punto del camino de Kummer y evita el uso de los números ideales. Dedekind ha tomado las raíces de cualquier ecuación irreducible con coeficientes enteros como las unidades para sus números complejos.
Atrado por las investigaciones de Kummer, su discípulo Leopold Kronecker (1823–1891) realizó investigaciones que aplicó a las ecuaciones algebraicas.
Por otra parte, se han hecho esfuerzos para utilizar en la teoría de números los resultados de la alta álgebra moderna.
Siguiendo las investigaciones de Hermite, Paul Bachmann, de Münster, investigó la fórmula aritmética que da los automorfos de una forma cuadrática ternaria.89 El problema de la equivalencia de dos formas cuadráticas ternarias positivas o definidas fue resuelto por L. Seeber; y el de los automorfos aritméticos de tales formas, por Eisenstein.
El problema más difícil de la equivalencia para formas ternarias indefinidas ha sido investigado por Edward Selling, de Wurzburgo. Sobre formas cuadráticas de cuatro o más indeterminadas se ha hecho aún poco.
Hermite demostró que el número de clases no equivalentes de formas cuadráticas que tienen coeficientes enteros y un discriminante dado es finito, mientras que Zolotareff y A. N. Korkine, ambos de San Petersburgo, investigaron los mínimos de las formas cuadráticas positivas.
En relación con las formas cuadráticas binarias, Smith estableció el teorema de que si el invariante conjunto de dos formas propiamente primitivas se anula, el determinante de cualquiera de ellas está representado primitivamente por el duplicado de la otra.
El intercambio de teoremas entre la aritmética y el álgebra se manifiesta en las recientes investigaciones de J. W. L. Glaisher, del Trinity College (nacido en 1848), y Sylvester.
Sylvester dio a conocer una teoría constructiva de las particiones (Constructive Theory of Partitions), la cual recibió aportaciones de sus alumnos F. Franklin y G. S. Ely.
La concepción de «número» se ha ampliado mucho en nuestra época.
Para los griegos incluía solo los números enteros positivos ordinarios; Diofanto añadió las fracciones racionales al dominio de los números. Más tarde, los números negativos e imaginarios llegaron a ser reconocidos gradualmente.
Descartes comprendió plenamente la noción de negativo; Gauss, la de imaginario.
Para Euclides, una razón, ya fuera racional o irracional, no era un número. El reconocimiento de las razones y los números irracionales como números tuvo lugar en el siglo XVI, y encontró expresión con Newton. Mediante el método de las razones, la continuidad del sistema de los números reales se ha basando en la continuidad del espacio, pero en tiempos recientes se han propuesto tres teorías de los irracionales por