Vieta to Descartes

Otros puntos de interés matemático en las obras de Kepler son (1) el planteamiento del problema más antiguo de tangentes inversas;

(2) una investigación que equivale a la evaluación de la integral definida ${\displaystyle {\int }_0^{\varphi }\sin \varphi d\varphi =1-\cos \varphi }$;

(3) la afirmación de que la circunferencia de una elipse, cuyos ejes son $2a$ y $2b$, es aproximadamente $\pi (a+b)$;

(4) un pasaje del cual se ha inferido que Kepler sabía que la variación de una función cerca de su valor máximo se anula;

(5) la asunción del principio de continuidad (que diferencia la geometría moderna de la antigua), cuando muestra que una parábola tiene un foco en el infinito, que las líneas que radian desde este «cæcus focus» son paralelas y no tienen ningún otro punto en el infinito.

La Stereometria llevó a Cavalieri, un jesuita italiano, a la consideración de cantidades infinitamente pequeñas.

Bonaventura Cavalieri (1598–1647), discípulo de Galileo y profesor de

Bolonia, es célebre por su Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, de 1635. Esta obra expone su método de los indivisibles, que ocupa un lugar intermedio entre el método de exhecución de los griegos y los métodos de Newton y Leibniz.

Él considera las líneas como compuestas por un número infinito de puntos, las superficies como compuestas por un número infinito de líneas, y los sólidos por un número infinito de planos. La magnitud relativa de dos sólidos o superficies podía encontrarse entonces simplemente mediante la suma de series de planos o líneas.

Por ejemplo, halla que la suma de los cuadrados de todas las líneas que componen un triángulo es igual a un tercio de la suma de los cuadrados de todas las líneas de un paralelogramo de igual base y altura; pues si en un triángulo la primera línea en el vértice es 1, entonces la segunda es 2, la tercera es 3, y así sucesivamente; y la suma de sus cuadrados es $1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=n(n+1)(2n+1)÷6.$

En el paralelogramo, cada una de las líneas es $n$ y su número es $n$; de ahí que la suma total de sus cuadrados sea $n^3$. La razón entre las dos sumas es, por tanto, $n(n+1)(2n+1)÷6n^3=\frac{1}{3},$ dado que $n$ es infinito.

De esto concluye que la pirámide o el cono es, respectivamente, $\frac{1}{3}$ de un prisma o cilindro de igual base y altura, ya que los polígonos o círculos que componen al primero disminuyen desde la base hasta el vértice de la misma manera que disminuyen desde la base hasta el vértice los cuadrados de las líneas paralelas a la base en un triángulo.

Mediante el Método de los Indivisibles, Cavalieri resolvió la mayoría de los problemas propuestos por Kepler.

Aunque expeditivo y de resultados correctos, el método de Cavalieri carece de fundamento científico. Si una línea no tiene absolutamente ninguna anchura, ningún número de líneas, por grande que sea, podrá jamás componer un área; si un plano no tiene grosor alguno, ni siquiera un número infinito de planos podrá formar un sólido.