ciencia era tan grande que permanecía en su gabinete estudiando, a veces durante varios días seguidos, sin comer ni dormir más de lo necesario para sostenerse. Una devoción tan grande por la ciencia abstracta es más notable aún porque vivió en una época de incesante agitación política y religiosa. Durante la guerra contra España, Vieta prestó un servicio a Enrique IV al descifrar cartas interceptadas escritas en una especie de cifrado y dirigidas por la Corte española a su gobernador de los Países Bajos. Los españoles atribuyeron el descubrimiento de la clave a la magia.
Un embajador de los Países Bajos le dijo una vez a Enrique IV que Francia no poseía un solo geómetra capaz de resolver un problema propuesto a los geómetras por un matemático belga, Adrianus Romanus.
Era la solución de la ecuación de cuadragésimo quinto grado:–-
Enrique IV llamó a Vieta, quien, habiendo investigado ya cuestiones similares, vio de inmediato que este imponente problema era simplemente la ecuación mediante la cual se expresaba en función de ; que, dado que , solo era necesario dividir un ángulo una vez en 5 partes iguales, y luego dos veces en 3,–-una división que podía efectuarse mediante ecuaciones correspondientes de quinto y tercer grado.
Brillante fue el descubrimiento por parte de Vieta de 23 raíces para esta ecuación, en lugar de una sola. La razón por la cual no encontró 45 soluciones es que las restantes involucran senos negativos, los cuales le resultaban ininteligibles.
Investigaciones detalladas sobre el famoso y antiguo problema de la división de un ángulo en un número impar de partes iguales llevaron a Vieta al descubrimiento de una solución trigonométrica del caso irreducible de Cardan en las ecuaciones cúbicas. Aplicó la ecuación a la solución de , cuando , haciendo , y determinando a partir de .
El principio principal empleado por él en la solución de ecuaciones es el de la reducción. Resuelve la ecuación cuadrática haciendo una sustitución adecuada que elimine el término que contiene a en primer grado.
Al igual que Cardano, reduce la expresión general de la cúbica a la forma ; luego, suponiendo y sustituyendo, obtiene . Al establecer , obtiene una ecuación cuadrática.
En la solución de las ecuaciones bicuadradas, Vieta sigue siendo fiel a su principio de reducción. Esto le proporciona la conocida cúbica resolvente. De este modo, se mantiene fiel en todo momento a su principio favorito, introduciendo así en el álgebra una uniformidad de método que suscita nuestra más viva admiración.
En el álgebra de Vieta descubrimos un conocimiento parcial de las relaciones existentes entre los coeficientes y las raíces de una ecuación. Muestra que si el coeficiente del segundo término en una ecuación de segundo grado es menos la suma de dos números cuyo producto es el tercer término, entonces dichos dos números son raíces de la ecuación.
Vieta rechazó todas las raíces excepto las positivas; por consiguiente, le era imposible percibir plenamente las relaciones en cuestión.