Teoría de funciones

Más tarde dio una conferencia sobre funciones abelianas a una clase de solo tres personas: Schering, Bjerknes y Dedekind. Gauss murió en 1855, y le sucedió Dirichlet. A la muerte de este último, en 1859, Riemann fue nombrado profesor ordinario. En 1860 visitó París, donde conoció a matemáticos franceses. El delicado estado de su salud lo indujo a ir a Italia tres veces. Murió en su último viaje en Selasca y fue enterrado en Biganzolo.

Como todas las investigaciones de Riemann, las sobre las funciones fueron profundas y de gran alcance.

Sentó las bases para una teoría general de funciones de una variable compleja. La teoría del potencial, que hasta entonces se había utilizado únicamente en física matemática, fue aplicada por él a las matemáticas puras.

En consecuencia, basó su teoría de funciones en la ecuación diferencial parcial, ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}}+{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}}=\Delta u=0$, que debe cumplirse para la función analítica $w=u+iv$ de $z=x+iy$.

Dirichlet había demostrado que (para un plano) siempre existe una, y solo una, función de $x$ e $y$ que satisface $\Delta u=0$, y que, junto con sus cocientes diferenciales de los primeros dos órdenes, es monovaluada y continua para todos los valores de $x$ e $y$ dentro de un área dada, y que tiene valores dados arbitrariamente para los puntos en la frontera del área.86

Riemann llamó a esto "el principio de Dirichlet", pero el mismo teorema fue enunciado por Green y demostrado analíticamente por Sir William

Thomson. De esto se deduce entonces que $w$ queda unívocamente determinado para todos los puntos dentro de