En 1854, casi veinte años después, Gauss oyó de labios de su alumno, Riemann, una maravillosa disertación que llevaba la discusión un paso más allá al desarrollar la noción de magnitud de dimensiones («-ply extended magnitude»), y las relaciones de medida de las que es capaz una multiplicidad de dimensiones, bajo el supuesto de que cada línea puede ser medida por cualquier otra. Riemann aplicó sus ideas al espacio. Nos enseñó a distinguir entre «sin límite» («unboundedness») y «extensión infinita». Según él, poseemos en nuestra mente una noción más general del espacio, es decir, una noción de espacio no euclidiano; pero aprendemos por experiencia que nuestro espacio físico es, si no exactamente, al menos en un alto grado de aproximación, espacio euclidiano.
La profunda disertación de Riemann no se publicó hasta 1867, año en que apareció en los Göttingen Abhandlungen. Antes de esto, la idea de las dimensiones se le había presentado bajo diversos aspectos a Lagrange, Plücker y H. Grassmann. Casi al mismo tiempo que el artículo de Riemann, se publicaron otros salidos de las plumas de Helmholtz y Beltrami. Estos contribuyeron poderosamente a la victoria de la lógica sobre el empirismo excesivo.
Este período marca el comienzo de animados debates sobre este tema. Algunos escritores, como Bellavitis, por ejemplo, no pudieron ver en la geometría no euclidiana y en el espacio de -dimensiones más que enormes caricaturas o excrecencias enfermizas de las matemáticas.
El artículo de Helmholtz se titulaba Thatsachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, 1868, y contenía muchas de las ideas de Riemann. Helmholtz popularizó el tema en conferencias y en artículos para varias revistas.
Eugenio Beltrami, nacido en Cremona, Italia, en 1835, y actualmente profesor en Roma, escribió el clásico artículo Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea (Giorn. di Matem., 6), que es analítico (y, al igual que otros artículos, debería mencionarse en otra parte si hubiéramos de adherirnos a una estricta separación entre síntesis y análisis).
Llegó a la brillante y sorprendente conclusión de que los teoremas de la geometría no euclidiana encuentran su realización sobre superficies de curvatura constante negativa. Estudió también las superficies de curvatura constante positiva, y terminó con el interesante teorema de que el espacio de curvatura constante positiva está contenido en el espacio de curvatura constante negativa.
Estas investigaciones de Beltrami,
Helmholtz y Riemann culminaron en la conclusión de que en superficies de curvatura constante podemos tener tres geometrías: la no euclidiana en una superficie de curvatura negativa constante, la esférica en una superficie de curvatura positiva constante, y la geometría euclidiana en una superficie de curvatura cero.
Las tres geometrías no se contradicen entre sí, sino que son miembros de un sistema: una trinidad geométrica. Las ideas del hiperespacio fueron expuestas y popularizadas brillantemente en
Inglaterra por Clifford.