o un infinitesimal. El cálculo residual de John Landen, que perseguía un objetivo similar, le era desconocido. Lagrange intentó demostrar el teorema de Taylor (cuya potencia fue el primero en señalar) mediante un álgebra sencilla, para luego desarrollar todo el cálculo a partir de dicho teorema.
Los principios del cálculo estaban en su época envueltos en dificultades filosóficas de naturaleza grave.
Los infinitésimos de Leibniz carecían de una base metafísica satisfactoria.
En el cálculo diferencial de Euler se trataban como ceros absolutos.
En la razón límite de Newton, las magnitudes de las cuales es razón no pueden ser halladas, pues en el momento en que deben ser atrapadas e igualadas, no hay ni arco ni cuerda. La cuerda y el arco no fueron tomados por Newton como iguales antes de desvanecerse, ni después de desvanecerse, sino cuando se desvanecen.
«Ese método», dijo Lagrange, «tiene el gran inconveniente de considerar las cantidades en el estado en el que dejan, por decirlo así, de ser cantidades; pues aunque siempre podemos concebir bien las razones de dos cantidades mientras permanezcan finitas, dicha razón no ofrece a la mente una idea clara y precisa tan pronto como sus términos se vuelven ambos cero al mismo tiempo».
El método de los límites de D'Alembert era muy similar al método de las razones primeras y últimas. D'Alembert enseñaba que una variable alcanzaba efectivamente su límite.
Cuando Lagrange se esforzó por liberar el cálculo de sus dificultades metafísicas, recurriendo al álgebra común, evitó el remolino de Caribdis solo para naufragar contra las rocas de Escila.
El álgebra de su época, tal como se la había legado Euler, se fundaba en una falsa concepción del infinito. Por entonces no se había establecido ninguna teoría correcta de las series infinitas.
Lagrange propuso definir el coeficiente diferencial de con respecto a como el coeficiente de en el desarrollo de mediante el teorema de Taylor, eludiendo así toda referencia a los límites. Pero utilizó series infinitas sin cerciorarse de que fuesen convergentes, y su demostración de que siempre puede desarrollarse en una serie de potencias ascendentes de adolece de graves defectos.
Aunque el método de Lagrange para desarrollar el cálculo fue al principio muy aplaudido, sus defectos eran fatales y hoy su «método de las derivadas», como se le llamó, ha sido abandonado en general.
Introdujo una notación propia, pero era incómoda y él mismo la abandonó en la segunda edición de su Mécanique, en la que utilizó infinitesimales.
El objeto principal de la Théorie des fonctions no se alcanzó, pero sus resultados secundarios tuvieron un alcance muy amplio. Era un modo puramente abstracto de considerar las funciones, al margen de consideraciones geométricas o mecánicas.
En el desarrollo posterior del análisis superior, la función se convirtió en la idea principal, y la obra de Lagrange puede considerarse como el punto de partida de la teoría de funciones desarrollada por Cauchy, Riemann, Weierstrass y otros.