«Creo que se admitirá generalmente que el encabezamiento de este artículo describe el único tema de carácter todavía elemental sobre el que existe un cisma serio entre los matemáticos en cuanto a la corrección o incorrección absoluta de los resultados».
Primeras en el tiempo en la evolución de criterios más delicados de convergencia y divergencia son las investigaciones de Josef Ludwig Raabe (Crelle, vol. IX); les siguen las de De Morgan tal como se exponen en su cálculo. De Morgan estableció los criterios logarítmicos que fueron descubiertos en parte de forma independiente por J. Bertrand. Las formas de estos criterios, tal como las da
Bertrand y por Ossian Bonnet, son más convenientes que
De Morgan.
Parece desprenderse de los papeles póstumos de Abel que este se había adelantado a los escritores antes mencionados en el establecimiento de criterios logarítmicos. En opinión de Bonnet, los criterios logarítmicos nunca fallan; pero Du Bois-Reymond y Pringsheim han descubierto sendas series demostrablemente convergentes en las cuales estos criterios no logran determinar la convergencia.
Los criterios a los que se ha aludido hasta ahora han sido denominados por Pringsheim criterios especiales, debido a que todos dependen de una comparación del término -ésimo de la serie con funciones especiales , , , etc.
Entre los primeros en sugerir criterios generales, y en considerar el asunto desde un punto de vista aún más amplio que culminó en una teoría matemática regular, estuvo Kummer. Él estableció un teorema que arroja una prueba compuesta de dos partes, cuya primera parte se descubrió más tarde que era superfluas. El estudio de los criterios generales fue continuado por U. Dini, de Pisa, Paul
Du Bois-Reymond, G. Kohn de Minden y Pringsheim.
Du Bois-Reymond divide los criterios en dos clases: criterios de la primera especie y criterios de la segunda especie, según que el término general -ésimo, o la razón del término -ésimo y el término -ésimo, se tome como base de la investigación.
El de Kummer es un criterio de la segunda especie. Un criterio de la primera especie, análogo a este, fue inventado por Pringsheim. De los criterios generales establecidos por Du Bois-Reymond y Pringsheim respectivamente, se pueden deducir todos los criterios especiales.
La teoría de Pringsheim es muy completa y ofrece, además de los criterios de la primera y de la segunda especie, criterios totalmente nuevos de una tercera especie, y también criterios generalizados de la segunda especie, los cuales se aplican, sin embargo, únicamente a series con términos que nunca aumentan.
- Los de la tercera especie se basan principalmente en la consideración del límite de la diferencia, ya sea de términos consecutivos o de sus recíprocos.
- En los criterios generalizados de la segunda especie no considera la razón de dos términos consecutivos, sino la razón de cualesquiera dos términos por alejados que estén, y deduce, entre otros, dos criterios dados previamente por Kohn y Ermakoff respectivamente.
En el estudio de las series de Fourier surgieron difíciles preguntas.79