Por medio de las investigaciones de A. Brill, de Tubinga; M. Nöther, de Erlangen, y Ferdinand Lindemann, de Múnich, realizadas en relación con el teorema de Riemann-Roch y la teoría de la residuación, ha surgido, a partir de la teoría de las funciones abelianas, una teoría de las funciones algebraicas y de los grupos de puntos sobre curvas algebraicas.
Antes de pasar a la teoría general de funciones, hacemos mención del «cálculo de funciones», estudiado principalmente por C. Babbage, J. F. W. Herschel y De Morgan, que no era tanto una teoría de funciones como una teoría de la resolución de ecuaciones funcionales mediante funciones o símbolos conocidos.
La historia de la teoría general de funciones comienza con la adopción de nuevas definiciones de función.
Con los Bernoulli y Leibniz, se decía que era una función de si existía una ecuación entre estas variables que permitía calcular para cualquier valor dado de situado en cualquier lugar entre y .
El estudio de la teoría del calor de Fourier condujo a Dirichlet a una nueva definición: se llama a función de si posee uno o más valores definidos para cada uno de ciertos valores que se supone que toma en un intervalo de a . En las funciones así definidas, no es necesario que exista una conexión analítica entre y , y se hace necesario buscar posibles discontinuidades.
Una gran revolución en las ideas sobre una función fue provocada por Cauchy cuando, en una función tal como la definió Dirichlet, dio a las variables valores imaginarios, y cuando extendió la noción de integral definida haciendo que la variable pasara de un límite a otro mediante una sucesión de valores imaginarios a lo largo de trayectorias arbitrarias.
Cauchy estableció varios teoremas fundamentales y dio el primer gran impulso al estudio de la teoría general de funciones. Sus investigaciones fueron continuadas en Francia por Puiseux y Liouville. Pero en Alemania, Riemann realizó investigaciones más profundas.
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) nació en
Breselenz en Hannover. Su padre deseaba que estudiase teología, y en consecuencia comenzó estudios filológicos y teológicos en Gotinga. Asistió también a algunas clases de matemáticas. Tal era su predilección por esta ciencia que abandonó la teología. Tras estudiar durante un tiempo bajo la tutela de Gauss y Stern, fue atraído, en 1847, a Berlín por una pléyade de matemáticos, entre los que brillaban Dirichlet,
Jacobi, Steiner y Eisenstein. Returning to Göttingen in
1850, he studied physics under Weber, and obtained the doctorate the following year. The thesis presented on that occasion, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen complexen Grösse, excited the admiration of Gauss to a very unusual degree, as did also Riemann's trial lecture, Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen.
Riemann's Habilitationsschrift was on the Representation of a Function by means of a Trigonometric Series, in which he advanced materially beyond the position of Dirichlet.
Our hearts are drawn to this extraordinarily gifted but shy genius when we read of the timidity and nervousness displayed when he began to lecture at Göttingen, and of his jubilation over the unexpectedly large audience of eight students at his first lecture on differential equations.