Descartes to Newton

Aplicando esta regla a la serie requerida, puesto que el segundo término es ${\displaystyle \frac{\frac{1}{2}{x}^3\mathrm{\backslash Fstr}}{3}}$, tenemos $m=\frac{1}{2}$, y obtenemos entonces para los coeficientes sucesivos en los numeradores, respectivamente, $-\frac{1}{8}\mathrm{\backslash Fstr}$, $+\frac{1}{16}$, $-\frac{5}{128}$, etc.; de ahí que el área requerida para el segmento circular sea

$x-{\displaystyle \frac{\frac{1}{2}{x}^3\mathrm{\backslash Fstr}}{3}}-{\displaystyle \frac{\frac{1}{8}{x}^5}{5}}-{\displaystyle \frac{\frac{1}{16}{x}^7}{7}}-$ etc.

Así, él halló que la expresión interpolada era una serie infinita, en lugar de una que tuviera más de un término y menos de dos, como Wallis creía que debía ser.

Esta interpolación sugirió a Newton un modo de desarrollar $(1-x^2{)}^{\frac{1}{2}}$, o, más en general, $(1-x^2{)}^m$, en una serie.

Observó que solo tenía que omitir de la expresión recién hallada los denominadores $1$, $3$, $5$, $7$, etc., y disminuir en una unidad cada potencia de $x$, y obtenía la expresión deseada.

En una carta a Oldenburg (13 de junio de 1676), Newton enuncia el teorema de la siguiente manera:

La extracción de raíces se abrevia mucho mediante el teorema

$(P+PQ{)}^{\frac{m}{n}}=P^{\frac{m}{n}}+\frac{m}{n}AQ+\frac{m-n}{2n}BQ+\frac{m-2n}{3n}CQ+\text{etc.},$ donde $A$ significa el primer término, $P^{\frac{m}{n}}$, $B$ el segundo término, $C$ el tercer término, etc.

Lo verificó mediante multiplicación real, pero no dio ninguna demostración regular de ello. Lo dio para cualquier exponente que fuera, pero no hizo distinción entre el caso en que el exponente es positivo y entero, y los demás.

Conviene mencionar aquí que los orígenes más rudimentarios del teorema del binomio se encuentran ya en una época muy temprana. Los hindúes y

Los árabes utilizaron las expansiones de $(a+b{)}^2$ y $(a+b{)}^3$ para la extracción de raíces; Vieta conocía la expansión de $(a+b{)}^4$; pero estos eran los resultados de una simple multiplicación sin el descubrimiento de ninguna ley. Los coeficientes binomiales para exponentes enteros positivos eran conocidos por algunos matemáticos árabes y europeos. Pascal derivó los coeficientes a partir del método de lo que se llama el "triángulo aritmético". Lucas de Burgo,

Stifel, Stevinus, Briggs y otros poseían todos algo a partir de lo cual se podría pensar que se habría obtenido el teorema del binomio con un poco de atención, "si no supiéramos que relaciones tan sencillas son difíciles de descubrir".

Aunque Wallis había obtenido una expresión completamente nueva para $\pi$, no estaba satisfecho con ella; pues en lugar de un número finito de términos que dieran un valor absoluto, contenía meramente un número infinito, que se acercaba cada vez más a dicho valor. Por lo tanto, indujo a su amigo, lord Brouncker (1620?-1684), el primer presidente de la Royal Society, a investigar este tema. Por supuesto, lord Brouncker no encontró lo que buscaban, pero obtuvo la siguiente hermosa igualdad:–- $\pi