juguetonamente el título de Adán Matemático, por los muchos nombres que ha introducido en las matemáticas. Así, los términos invariante, discriminante, hessiano,
Jacobiano, son suyos.
La gran teoría de los invariantes, desarrollada en Inglaterra principalmente por Cayley y Sylvester, pasó a ser estudiada con ahínco en Alemania, Francia e Italia.
Uno de los primeros en este campo fue Siegfried Heinrich Aronhold (1819–1884), quien demostró la existencia de los invariantes, y , de la cúbica ternaria.
Hermite descubrió los evectantes y el teorema de reciprocidad que lleva su nombre.
Paul Gordan demostró, con la ayuda de métodos simbólicos, que el número de formas distintas para un cúntico binario es finito.
Clebsch demostró que esto es verdad para cúnticos con cualquier número de variables.
Una prueba mucho más simple de esto fue dada en 1891 por David Hilbert, de Königsberg.
En Italia, F. Brioschi de Milán y Faà de Bruno
(1825–1888) contribuyó a la teoría de los invariantes, escribiendo este último un libro de texto sobre formas binarias, que se sitúa a la altura del tratado de Salmon y de los de Clebsch y Gordan. Entre otros escritores sobre invariantes se encuentra E. B. Christoffel,
Wilhelm Fiedler, P. A. McMahon, J. W. L. Glaisher de
Cambridge, Emory McClintock de Nueva York.
McMahon descubrió que la teoría de los semiinvariantes forma parte de la de las funciones simétricas. El álgebra superior moderna se ha extendido y se ha conectado indisolublemente con otras varias ramas de las matemáticas: geometría, cálculo de variaciones, mecánica.
Clebsch extendió la teoría de las formas binarias a las ternarias, y aplicó los resultados a la geometría. Clebsch, Klein,
Weierstrass, Burckhardt y Bianchi han utilizado la teoría de los invariantes en las funciones hiperelípticas y abelianas.
En la teoría de ecuaciones, Lagrange, Argand y Gauss proporcionaron la demostración del importante teorema de que toda ecuación algebraica tiene una raíz real o compleja. Abel demostró rigurosamente que la ecuación algebraica general de quinto grado o de grados superiores no puede resolverse mediante radicales ( Crelle , I., 1826). Wantzel aportó una modificación de la demostración de Abel. Antes de Abel, un médico italiano, Paolo Ruffini (1765–1822), había impreso demostraciones de la insolubilidad, las cuales fueron criticadas por su compatriota Malfatti. Aunque no concluyentes, los artículos de Ruffini son notables por contener anticipaciones de la teoría de grupos de Cauchy.76