De gran alcance son las investigaciones de Euler sobre los logaritmos. Leibniz y John Bernoulli discutieron una vez sobre la cuestión de si un número negativo tiene logaritmo. Bernoulli afirmó que dado que , tenemos y , y finalmente .
Euler demostró que tiene en realidad un número infinito de logaritmos, todos los cuales son imaginarios cuando es negativo, y todos excepto uno cuando es positivo. Luego explicó cómo podría ser igual a , y sin embargo no ser igual a .
El tema de las series infinitas cobró nueva vida gracias a él.
A sus investigaciones sobre las series debemos la creación de la teoría de las integrales definidas mediante el desarrollo de las llamadas integrales eulerianas. Advierte a sus lectores ocasionalmente contra el uso de series divergentes, pero sin embargo es muy descuidado él mismo. El tratamiento riguroso al que se someten hoy en día las series infinitas era entonces impensable. No existían nociones claras sobre lo que constituye una serie convergente. Ni Leibniz ni Jakob y Johann Bernoulli habían albergado duda alguna seria sobre la corrección de la expresión . Guido Grandi llegó tan lejos como para deducir de esto que
0 +$. En el tratamiento de las series, Leibniz avanzó un método metafísico de demostración que dominó las mentes de los Bernoullis mayores, e incluso de Euler.46 La tendencia de ese razonamiento era justificar resultados que hoy nos parecen altamente absurdos. La laxitud del tratamiento se puede ver mejor a través de ejemplos. El mismo artículo en el que Euler advierte contra las series divergentes contiene la demostración de que
estos sumados dan cero. Euler no duda en escribir , y nadie objetó tales resultados salvo Nicolaus Bernoulli, el sobrino de Juan y Jacobo. Por extraño que parezca, Euler finalmente logró convencer a Nicolaus Bernoulli de sus propios puntos de vista erróneos.
En la actualidad es difícil creer que Euler haya escrito con tanta confianza , pero tales ejemplos ofrecen ilustraciones sorprendentes de la falta de base científica de ciertas partes del análisis en aquella época.
La demostración de Euler de la fórmula del binomio para exponentes negativos y fraccionarios, que ha sido reproducida en libros de texto elementales incluso de años recientes, es defectuosa.
Un desarrollo notable, debido a Euler, es lo que denominó la serie hipergeométrica, cuya sumación observó que dependía de la integración de una ecuación diferencial lineal de segundo orden, pero quedó en manos de Gauss señalar que, para valores especiales de sus letras, esta serie representaba casi todas las funciones conocidas entonces.
Euler desarrolló el cálculo de diferencias finitas en los primeros capítulos de sus Institutiones calculi differentialis, y a partir de él dedujo el cálculo diferencial. Estableció un teorema sobre funciones homogéneas, conocido por su nombre, y contribuyó en gran medida a la teoría de las ecuaciones diferenciales, un tema que había recibido la atención de Newton, Leibniz y los Bernoulli,