Cauchy fue el primero que sintió la necesidad de investigar su convergencia. Pero Dirichlet encontró insatisfactorio su modo de proceder. Dirichlet realizó las primeras investigaciones exhaustivas sobre este tema (Crelle, vol. IV). Estas culminan en el resultado de que siempre que la función no se vuelva infinita, no tenga un número infinito de discontinuidades y no posea un número infinito de máximos y mínimos, la serie de Fourier converge hacia el valor de dicha función en todos los lugares, excepto en los puntos de discontinuidad, y allí converge hacia la media de los dos valores límite.
Schläfli, de Berna, y Du Bois-Reymond expresaron dudas en cuanto a la corrección del valor medio, las cuales, sin embargo, no estaban bien fundadas. Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias. Lipschitz, de
Bonn, demostró que la serie de Fourier todavía representa la función cuando el número de discontinuidades es infinito, y estableció una condición bajo la cual representa una función que tiene un número infinito de máximos y mínimos. La creencia de Dirichlet de que todas las funciones continuas pueden ser representadas por la serie de Fourier en todos los puntos fue compartida por Riemann y
H. Hankel, pero Du Bois-Reymond y H. A. Schwarz demostraron que era falsa.
Riemann indagó qué propiedades debe poseer una función para que pueda haber una serie trigonométrica que, siempre que sea convergente, converja hacia el valor de la función. Encontró condiciones necesarias y suficientes para ello. Estas, sin embargo, no deciden si dicha serie representa efectivamente la función o no.
Riemann rechazó la definición de Cauchy de una integral definida debido a su arbitrariedad, dio una nueva definición e indagó luego cuándo una función tiene una integral. Sus investigaciones sacaron a la luz el hecho de que las funciones continuas no necesitan tener siempre un coeficiente diferencial. Pero esta propiedad, que Weierstrass demostró que pertenecía a grandes clases de funciones, no se encontró que necesariamente las excluyera de ser representadas por la serie de Fourier.
Se arrojaron dudas sobre algunas de las conclusiones acerca de la serie de Fourier mediante la observación, hecha por Weierstrass, de que se puede demostrar que la integral de una serie infinita es igual a la suma de las integrales de los términos separados solo cuando la serie converge uniformemente dentro de la región en cuestión. El tema de la convergencia uniforme fue investigado por Philipp Ludwig
Seidel (1848) y G. G. Stokes (1847), y ha adquirido una gran importancia en la teoría de funciones de Weierstrass. Se hizo necesario demostrar que una serie trigonométrica que representa una función continua converge uniformemente. De esto se encargó Heinrich Eduard Heine (1821–1881), de Halle. Investigaciones posteriores sobre las series de Fourier fueron realizadas por G. Cantor y
Du Bois-Reymond.
En comparación con el vasto desarrollo de otras ramas matemáticas, la teoría de la probabilidad ha logrado progresos muy insignificantes desde los tiempos de Laplace. A. De Morgan, G. Boole y A. Meyer (editado por E. Czuber) han introducido mejoras y simplificaciones en el modo de exposición,
J. Bertrand. > Cournot's and Westergaard's treatment of insurance and the theory of life-tables are