pero que aún estaba por desarrollar. Clairaut,
Fontaine y Euler observaron casi al mismo tiempo los criterios de integrabilidad, pero Euler además mostró cómo emplearlos para determinar factores integrantes. Los principios en los que se basaban los criterios entrañaban cierto grado de oscuridad.
El célebre teorema de adición para integrales elípticas fue establecido por primera vez por Euler. Inventó un nuevo algoritmo para fracciones continuas, que empleó en la solución de la ecuación indeterminada . Hoy sabemos que prácticamente la misma solución a esta ecuación fue dada años antes por los hindúes.
Al dar los factores del número cuando , señaló que esta expresión no siempre representaba números primos, como había supuesto Fermat. Él proporcionó por primera vez la demostración del «teorema de Fermat».
y a un segundo teorema de Fermat, que establece que todo número primo de la forma puede expresarse como la suma de dos cuadrados de una y solo una manera.
Un tercer teorema de Fermat, según el cual no tiene solución entera para valores de mayores que , fue demostrado por Euler como correcto cuando .
Euler descubrió cuatro teoremas que, tomados en conjunto, conforman la gran ley de reciprocidad cuadrática, una ley descubierta de forma independiente por Legendre.48
Euler enunció y demostró un conocido teorema que establece la relación entre el número de vértices, caras y aristas de ciertos poliedros, el cual, sin embargo, parece haber sido conocido por Descartes.
Las capacidades de Euler se dirigieron también hacia el fascinante tema de la teoría de la probabilidad, en el cual resolvió algunos problemas difíciles.
De no poca importancia son los trabajos de Euler en la mecánica analítica. Dice Whewell: «La persona que más hizo para conferir a la hora del análisis la generalidad y la simetría que hoy son su orgullo, fue también la persona que hizo analítica la mecánica; me refiero a Euler».11 Desarrolló la teoría de la rotación de un cuerpo alrededor de un punto fijo, estableció las ecuaciones generales del movimiento de un cuerpo libre y la ecuación general de la hidrodinámica. Resolvió un número inmenso y variado de problemas mecánicos, que acudían a su mente en todas las ocasiones. Así, al leer los versos de Virgilio: «El ancla cae, la quilla veloz se detiene», no pudo evitar preguntarse cuál sería el movimiento de la nave en tal caso. Alrededor del mismo tiempo que Daniel Bernoulli, publicó el Principio de la Conservación de
Areas and defended the principle of "least action," advanced by Maupertius. He wrote also on tides and on sound.
A la astronomía le debe Euler el método de la variación de las constantes arbitrarias. Con él abordó el problema de las perturbaciones, explicando, en el caso de dos planetas, las variaciones seculares de las excentricidades, nodos, etc. Fue uno de los primeros en abordar con éxito la teoría del movimiento de la luna al dar soluciones aproximadas al «problema de los tres cuerpos».