de la publicación de esta obra, Legendre había publicado en diversas ocasiones artículos preliminares. Su cumbre culminante es el teorema de reciprocidad cuadrática, dado anteriormente de forma confusa por Euler y sin demostración, pero enunciado con claridad por primera vez y parcialmente demostrado por Legendre.48
Al actuar como uno de los comisionados para conectar Greenwich y París geodésicamente, Legendre calculó todos los triángulos de Francia. Esto dio lugar a la ocasión de establecer fórmulas y teoremas sobre geodésica, sobre el tratamiento del triángulo esférico como si fuera un triángulo plano mediante la aplicación de ciertas correcciones a los ángulos, y sobre el método de los mínimos cuadrados, publicado por primera vez por él sin demostración en 1806.
Legendre escribió unos Éléments de Géométrie, de 1794, que gozaron de gran popularidad y fueron adoptados generalmente en el continente y en los Estados Unidos como sustituto de Euclides.
Este gran rival moderno de Euclides pasó por numerosas ediciones; las posteriores contenían los elementos de trigonometría y una demostración de la irracionalidad de y . Legendre dedicó mucha atención al tema de las líneas paralelas. En las primeras ediciones de los Éléments, recurrió directamente a los sentidos para comprobar la veracidad del «axioma de las paralelas». Luego intentó demostrar dicho «axioma», pero sus demostraciones no satisficieron ni al propio autor. En el vol. XII de las Memoirs of the Institute aparece un artículo de Legendre que contiene su último intento de resolver el problema. Suponiendo que el espacio es infinito, demostró de manera satisfactoria que es imposible que la suma de los tres ángulos de un triángulo exceda dos rectos, y que si existe un triángulo cuya suma de ángulos sea dos rectos, entonces lo mismo