Tras la publicación del ensayo de Gauss sobre los residuos bicuadráticos, que presentaba la ley de la reciprocidad bicuadrática, y su tratamiento de los números complejos, Jacobi halló una ley similar para los residuos cúbicos.
Mediante la teoría de las funciones elípticas, llegó a hermosos teoremas sobre la representación de números mediante , , y cuadrados.
Siguen las investigaciones de Dirichlet, el expositor de Gauss y colaborador de abundantes resultados propios.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet[]88 (1805–1859) nació en Düren, asistió al gimnasio en Bonn y luego al gimnasio jesuita en Colonia. En 1822 se sintió atraído hacia París por los nombres de Laplace, Legendre, Fourier, Poisson,
Cauchy. Las facilidades para recibir una educación matemática allí eran mucho mejores que en Alemania, donde Gauss era la única gran figura. Leyó en París las Disquisitiones Arithmeticæ de Gauss, una obra que nunca dejó de admirar y estudiar. Mucho en ella fue simplificado por Dirichlet y, de este modo, quedó al alcance más fácil de los matemáticos.
Su primera memoria sobre la imposibilidad de ciertas ecuaciones indeterminadas de quinto grado fue presentada a la Academia Francesa en 1825. Demostró que la ecuación de Fermat, , no puede existir cuando . Algunas partes del análisis son, sin embargo, de Legendre. Euler y Lagrange habían demostrado esto cuando es
y , y Lamé lo demostró cuando . El conocimiento que tenía Dirichlet de Fourier le llevó a investigar las series de Fourier. Se convirtió en docent en Breslau en 1827. En 1828 aceptó un puesto en Berlín, y finalmente sucedió a Gauss en Gotinga en 1855.
Los principios generales de los que depende el número medio de clases de formas cuadráticas binarias de determinante positivo y negativo (un tema investigado por primera vez por Gauss) fueron dados por Dirichlet en una memoria, Ueber die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie, de 1849.
Más recientemente, F. Mertens, de Graz, ha determinado los valores asintóticos de varias funciones numéricas.
Dirichlet prestó cierta atención a los números primos. Gauss y Legendre habían dado expresiones que denotan aproximadamente el valor asintótico del número de primos inferiores a un límite dado, pero correspondía a Riemann, en su memoria Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, de 1859, ofrecer una investigación rigurosa de la frecuencia asintótica de los primos.
Abordando el problema desde una dirección diferente, Patnutij Tchebycheff, antiguo profesor de la Universidad de San Petersburgo (nacido en 1821), estableció, en una célebre memoria, Sur les Nombres Premiers, 1850, la existencia de límites entre los cuales debe estar comprendida la suma de los logaritmos de los primos , inferiores a un número dado .89 Este artículo depende de consideraciones muy elementales y, en ese aspecto, contrasta fuertemente con el de Riemann, que involucra teoremas abstrusos del cálculo integral. Los artículos de Poincaré, la contracción de los límites de Tchebycheff por parte de Sylvester, con referencia a la distribución de los primos, y las investigaciones de J. Hadamard (galardonadas con el