J. Thomae de Jena, Alfred Enneper de Gotinga (1830–1885).
En 1854, H. Schröter, de Breslau (1829-1892), dio una fórmula general para el producto de dos funciones theta. Estas funciones también han sido estudiadas por Cauchy, Königsberger de
Heidelberg (nacido en 1837), F. S. Richelot de Königsberg (1808–1875),
Johann Georg Rosenhain de Königsberg (1816–1887),
L. Schläfli de Berna (nacido en 1818).85
El método de Legendre para reducir una diferencial elíptica a su forma normal ha suscitado numerosas investigaciones, siendo las más importantes las de Richelot y las de Weierstrass de
Berlín.
Las transformaciones algebraicas de las funciones elípticas implican una relación entre el módulo antiguo y el nuevo que Jacobi expresó mediante una ecuación diferencial de tercer orden, y también mediante una ecuación algebraica, llamada por él «ecuación modular». La noción de las ecuaciones modulares le era familiar a
Abel, pero el desarrollo de este tema recayó en investigadores posteriores. Estas ecuaciones han adquirido importancia en la teoría de las ecuaciones algebraicas, y han sido estudiadas por Sohnke, E. Mathieu, L. Königsberger, E. Betti de Pisa (fallecido
1892), C. Hermite de París, Joubert de Angers, Francesco
Brioschi de Milán, Schläfli, H. Schröter, M. Gudermann de
Cleve, Gützlaff.
Felix Klein, de Gotinga, ha realizado un estudio exhaustivo de las funciones modulares, ocupándose de un tipo de operaciones situadas entre los dos tipos extremos, conocidas como la teoría de sustituciones y la teoría de invariantes y covariantes. La teoría de Klein ha sido presentada en forma de libro por su alumno, Robert Fricke. Los rasgos más audaces de la misma se publicaron por primera vez en su
Icosaeder, 1884. Sus investigaciones abarcan la teoría de las funciones modulares como una clase específica de funciones elípticas, la formulación de un problema más general basado en la doctrina de los grupos de operaciones, y el desarrollo posterior del tema en conexión con una clase de superficies de Riemann.
Las funciones elípticas fueron expresadas por Abel como cocientes de productos doblemente infinitos. Sin embargo, no investigó rigurosamente la convergencia de dichos productos. En 1845, Cayley estudió estos productos y desarrolló para ellos una teoría completa, basada en parte en la interpretación geométrica, que estableció como la base de toda la teoría de las funciones elípticas. Eisenstein analizó mediante métodos puramente analíticos el producto doblemente infinito general y llegó a resultados cuya forma ha sido simplificada enormemente por la teoría de los factores primarios, debida a Weierstrass.