Descartes to Newton

como curvas de segundo grado, y se tratan analíticamente mediante el método cartesiano de coordenadas. En esta obra, Wallis habla de Descartes en los términos más elogiosos, pero en su Álgebra, sin justificación, acusa a Descartes de haber plagiado a Harriot. Ya hemos mencionado en otra parte la solución de Wallis a los problemas de premio sobre la cicloide, propuestos por Pascal.

The Arithmetic of Infinites, publicado en 1655, es su obra más importante. Mediante la aplicación del análisis al Método de los Indivisibles, aumentó enormemente la potencia de este instrumento para efectuar cuadraturas.

Fue más allá que Kepler al hacer un uso más extenso de la "ley de la continuidad" y depositar en ella plena confianza. Mediante esta ley se vio llevado a considerar los denominadores de las fracciones como potencias con exponentes negativos.

Así, la progresión geométrica descendente $x^{3}$ , $x^{2}$ , $x^{1}$ , $x^{0}$ , si continúa, da $x^{- 1}$ , $x^{- 2}$ , $x^{- 3}$ , etc.; lo cual es lo mismo que $\frac{1 \Fstr}{x}$ , $\frac{1}{x^{2}}$ , $\frac{1}{x^{3}}$ .

Los exponentes de esta serie geométrica están en progresión aritmética continua, $3$ , $2$ , $1$ , $0$ , $- 1$ , $- 2$ , $- 3$ .

También utilizó exponentes fraccionarios que, al igual que los negativos, habían sido inventados mucho antes, pero no habían logrado generalizarse. El símbolo $\infty$ para el infinito se debe a él.

Cavalieri y los geómetras franceses habían determinado la fórmula para la cuadratura de la parábola de cualquier grado, $y = x^{m}$ , siendo $m$ un número entero positivo. Mediante la suma de las potencias de los términos de series aritméticas infinitas, se descubrió que la curva $y = x^{m}$ es al área del paralelogramo que tiene la misma base y altura como $1$ es a $m + 1$ .

Auxiliándose de la ley de continuidad, Wallis llegó al resultado de que esta fórmula es válida no solo cuando $m$ es positivo y entero, sino también cuando es fraccionario o negativo.

Así, en la parábola $y = \sqrt{p x}$ , $m = \frac{1}{2}$ ; de donde el área del segmento parabólico es a la del rectángulo circunscrito como $1 : 1 \frac{1}{2}$ , o como $2 : 3$ .

Nuevamente, supóngase que en $y = x^{m}$ , $m = - \frac{1}{2}$ ; entonces la curva es una especie de hipérbola referida a sus asíntotas, y el espacio hiperbólico entre la curva y sus asíntotas es al paralelogramo correspondiente como $1 : \frac{1}{2}$ .

Si $m = - 1$ , como en la hipérbola equilátera común $y = x^{- 1}$ o $x y = 1$ , entonces esta razón es $1 : - 1 + 1$ , o $1 : 0$ , lo que muestra que su espacio asintótico es infinito.

Pero en el caso en que m es mayor que la unidad y negativo, Wallis no pudo interpretar correctamente sus resultados. Por ejemplo, si m = − 3 , entonces la razón se vuelve 1 : − 2 , o como la unidad a un número negativo. ¿Cuál es el significado de esto? Wallis razonó de este modo: si el denominador es solo cero, entonces el área ya es infinita; pero si es menor que cero, entonces el área debe ser más que infinita.