También escribió sobre la resolución de ecuaciones de quinto grado, el hodógrafo, las funciones fluctuantes y la resolución numérica de ecuaciones diferenciales.
El gran descubrimiento de Hamilton son sus cuaterniones, en los que culminó su estudio del álgebra.
En 1835 publicó en las Transactions of the Royal Irish Academy su Teoría de los pares algebraicos. Consideraba el álgebra «no como un mero arte, ni un lenguaje, ni principalmente como una ciencia de la cantidad, sino más bien como la ciencia del orden de progresión».
El tiempo se le aparecía como la imagen de dicha progresión. De ahí su definición del álgebra como «la ciencia del tiempo puro».
Fue objeto de años de meditación para él determinar qué debía considerar como el producto de cada par de un sistema de líneas dirigidas perpendiculares. Por fin, el 16 de octubre,
1843, mientras paseaba con su esposa una tarde a lo largo del Royal Canal en Dublín, el descubrimiento de los cuaterniones acudió a su mente de repente, y entonces grabó con su cuchillo sobre una piedra en el puente Brougham la fórmula fundamental .
En la asamblea general de la Academia Irlandesa, un mes después, realizó la primera comunicación sobre los cuaterniones. El año siguiente se dio cuenta del descubrimiento en el Philosophical Magazine.
Hamilton desplegó una fecundidad maravillosa en su desarrollo.
- Sus Lectures on Quaternions, impartidas en Dublín, se imprimieron en 1852.
- Sus Elements of Quaternions aparecieron en 1866.
Los cuaterniones fueron muy admirados en Inglaterra desde el principio, pero en el continente recibieron menos atención. El Elementary Treatise de P. G. Tait ayudó poderosamente a difundir su conocimiento en Inglaterra.
Cayley, Clifford y Tait hicieron avanzar el tema de algún modo con contribuciones originales.
Pero ha habido pocos progresos en los últimos años, salvo el realizado por Sylvester en la resolución de ecuaciones de cuaterniones, ni la aplicación de los cuaterniones a la física ha sido tan amplia como se predijo.
El cambio de notación realizado en Francia por Hoüel y por Laisant ha sido considerado en Inglaterra como un paso en falso, pero la verdadera causa de la falta de progreso es tal vez más profunda.
Existe de hecho una gran duda sobre si el producto cuaterniónico puede reclamar un lugar necesario y fundamental en un sistema de análisis vectorial. Los físicos afirman que hay una pérdida de naturalidad al considerar que el cuadrado de un vector sea negativo.
Con el fin de satisfacer más adecuadamente sus necesidades, J. W. Gibbs, de la Universidad de Yale, y A. Macfarlane, de la Universidad de Texas, han sugerido cada uno un álgebra de vectores con una nueva notación. Cada uno da una definición propia para el producto de dos vectores, pero de tal manera que el cuadrado de un vector sea positivo. Un tercer sistema de análisis vectorial ha sido utilizado por Oliver Heaviside en sus