superficie derivada del grado , pero su solución se dio en una forma inconveniente. La investigación de Clebsch al respecto es una pieza de análisis bellísima.
La representación de una superficie sobre otra (Flächenabbildung), de modo que tengan una correspondencia , fue estudiada a fondo por primera vez por Clebsch. La representación de una esfera sobre un plano es un viejo problema que atrajo la atención de Ptolomeo, Gerard Mercator, Lambert,
Gauss, Lagrange. Su importancia en la construcción de mapas es obvia.
Gauss fue el primero en representar una superficie sobre otra con vistas a llegar más fácilmente a sus propiedades.
Plücker, Chasles, Cayley, representaron de este modo sobre un plano la geometría de las superficies cuádricas; Clebsch y Cremona, la de las superficies cúbicas.
Otras superficies han sido estudiadas del mismo modo por escritores recientes, en particular el Sr. Nöther de Erlangen,
Armenante, Felix Klein, Korndörfer, Caporali, H. G. Zeuthen de Copenhague.
Una cuestión fundamental que hasta ahora solo ha recibido una respuesta parcial es la siguiente: ¿Qué superficies pueden ser representadas por una correspondencia sobre una superficie dada?
Esta y la cuestión análoga para curvas fueron estudiadas por Clebsch. Las correspondencias superiores entre superficies han sido investigadas por Cayley y Nöther.
La teoría de superficies también ha sido estudiada por Joseph Alfred Serret (1819–1885), profesor en la Sorbona de París, Jean Gaston Darboux de París,
John Casey de Dublín (fallecido en 1891), W. R. W. Roberts de Dublín,
H. Schröter (1829–1892) de Breslau. Las superficies de cuarto orden fueron investigadas por Kummer, y la superficie de onda de Fresnel, estudiada por Hamilton, es un caso particular de
La superficie cuártica de Kummer, con dieciséis puntos canónicos y dieciséis planos tangentes singulares.56
El cálculo infinitesimal fue aplicado por primera vez a la determinación de la medida de curvatura de las superficies por Lagrange,
Euler y Meusnier (1754–1793) de París. A continuación siguieron las investigaciones de Monge y Dupin, pero fueron eclipsadas por la obra de Gauss, quien resolvió este difícil tema de un modo que abrió nuevas perspectivas a los geómetras. Su tratamiento se plasma en las Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827) y en los Untersuchungen über gegenstände der höheren Geodäsie de 1843 y 1846.
Él definió la medida de la curvatura en un punto como el recíproco del producto de los dos radios principales de curvatura en dicho punto. De esto se deriva el teorema de Johann August Grunert (1797–1872;
profesor en Greifswald), que la media aritmética de los radios de curvatura de todas las secciones normales que pasan por un punto es el radio de una esfera que tiene la misma medida de curvatura que la superficie en