Bajo este título consideramos conveniente examinar los temas del cálculo diferencial e integral, el cálculo de variaciones, las series infinitas, la probabilidad y las ecuaciones diferenciales.
Destacó en el desarrollo de estos temas Cauchy.
Augustin-Louis Cauchy[]78 (1789–1857) nació en París y recibió su educación temprana de su padre. Lagrange y Laplace, con quienes el padre entraba en contacto frecuente, predijeron la futura grandeza del muchacho. En la École Centrale du Panthéon se destacó en los estudios clásicos antiguos. En 1805 ingresó en la Escuela Politécnica y, dos años después, en la École des Ponts et Chaussées.
Cauchy partió hacia Cherburgo en 1810 en calidad de ingeniero. La Mécanique Céleste de Laplace y las Fonctions Analytiques de Lagrange figuraban entre sus libros de compañía allí.
Motivos de salud le indujeron a regresar a París al cabo de tres años. Cediendo a las persuasiones de Lagrange y Laplace, renunció a la ingeniería en favor de la ciencia pura. A continuación lo encontramos ocupando una cátedra en la Escuela Politécnica.
Con motivo de la expulsión de Carlos X y la subida al trono de Luis Felipe en 1830, Cauchy, al ser sumamente concienzudo, se vio incapaz de prestar el juramento que se le exigía.
En consecuencia, tras ser despojado de sus cargos, se marchó al exilio voluntario. En Friburgo (Suiza), Cauchy reanudó sus estudios y, en 1831, el rey de Piamonte lo persuadió para que aceptara la cátedra de física matemática, creada especialmente para él en la Universidad de Turín.
En 1833 obedeció la llamada de su rey exiliado, Carlos X, para encargarse de la educación de un nieto, el duque de Burdeos.
Esto le dio a Cauchy la oportunidad de visitar varias partes de Europa y de comprobar cuán extensamente se estaban leyendo sus obras. Carlos X le otorgó el título de barón.
A su regreso a París en 1838, se le ofreció una cátedra en el Collège de France, pero el juramento que se le exigía le impidió aceptarla. Fue nombrado miembro de la Oficina de Longitudes, pero el poder gobernante lo declaró inelegible.
Durante los acontecimientos políticos de 1848 el juramento fue suspendido, y Cauchy finalmente se convirtió en profesor de la Escuela Politécnica. Con el establecimiento del segundo imperio, el juramento fue reinstaurado, pero Cauchy y Arago estuvieron exentos de él.
Cauchy era un hombre de gran piedad, y en dos de sus publicaciones defendió con firmeza a los jesuitas.
Cauchy fue un matemático prolífico y profundo. Mediante la pronta publicación de sus resultados y la preparación de libros de texto estándar, ejerció una influencia más inmediata y beneficiosa sobre la gran masa de matemáticos que cualquier otro escritor contemporáneo. Fue uno de los líderes en infundir rigor al