Las explicaciones de los principios fundamentales del cálculo, tal como las dieron Newton y Leibniz, carecían de claridad y rigor. Por esa razón, este encontró oposición en varios sectores.
En 1694, el holandés Bernard Nieuwentyt negó la existencia de diferenciales de órdenes superiores y objetó la práctica de despreciar las cantidades infinitamente pequeñas. Leibniz no pudo responder satisfactoriamente a estas objeciones. En su réplica afirmó que el valor de en geometría podía expresarse como la razón de cantidades finitas.
En la interpretación de y , Leibniz vaciló. En ocasiones aparecen en sus escritos como líneas finitas; luego se les denomina cantidades infinitamente pequeñas y, de nuevo, quantitates inassignabiles, que surgen a partir de quantitates assignabiles por la ley de continuidad. En esta última presentación, Leibniz se acercó más a Newton.
En Inglaterra los principios de las fluxiones fueron audazmente atacados por el obispo Berkeley, el eminente metafísico, quien argumentó con gran agudeza, sosteniendo, entre otras cosas, que la idea fundamental de suponer que existe una razón finita entre términos absolutamente evanescentes —«los fantasmas de cantidades difuntas», como los llamó— era absurda e ininteligible.
La respuesta dada por Jurin no logró eliminar todas las objeciones. Berkeley fue el primero en señalar lo que más tarde volvería a mostrar Lazare Carnot, a saber, que se llegaba a respuestas correctas mediante una «compensación de errores».
El ataque de Berkeley no careció de buenos resultados, pues fue la causa directa de la obra sobre fluxiones de Maclaurin. En Francia, Michel
Rolle rechazó el cálculo diferencial y mantuvo una controversia con Varignon sobre el tema.
Entre los promotores más enérgicos del cálculo en el continente se encontraban los Bernoulli. Ellos y Euler hicieron famosa a Basilea, en Suiza, como la cuna de grandes matemáticos. La familia Bernoulli produjo a lo largo de un siglo ocho miembros que se distinguieron en las matemáticas.
A continuación, añadimos la siguiente tabla genealógica:–-
lll@ Jacob, 1654–1705 Nicolaus Johann, 1667–1748 Nicolaus, 1687–1759 Nicolaus, 1695–1726 Daniel, 1700–1782 Johann, 1710–1790 2c [c]$
ccc@ Daniel Johann, 1744–1807 Jacob, 1758–1789
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^Nicolaus Bernoulli, el Padre
Los más célebres fueron los dos hermanos Jacob (James) y Johann (John), y Daniel, el hijo de John. James y
John were staunch friends of Leibniz and worked hand in hand with him. James Bernoulli (1654–1705) was born in
Basilea. Interesado en el cálculo, lo dominó sin la ayuda de un maestro. Desde 1687 hasta su muerte ocupó la cátedra de matemáticas en la Universidad de Basilea.