Las agudas investigaciones de Johann Friedrich Pfaff (1795-1825) marcaron un decidido avance. Fue amigo íntimo del joven Gauss en Gotinga. Posteriormente estuvo con el astrónomo Bode.
Más tarde fue profesor en Helmstädt y luego en Halle.
Mediante un método peculiar, Pfaff halló la integración general de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden para cualquier número de variables. Partiendo de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden en variables, da primero su integración general y luego considera la integración de las ecuaciones diferenciales parciales como un caso particular de la primera, suponiendo, sin embargo, como conocida, la integración general de las ecuaciones diferenciales de cualquier orden entre dos variables.
Sus investigaciones llevaron a Jacobi a introducir el nombre de «problema de Pfaff».
De la conexión, observada por Hamilton, entre un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (en mecánica analítica) y una ecuación en derivadas parciales, Jacobi extrajo la conclusión de que, de la serie de sistemas cuya integración sucesiva exigía el método de Pfaff, todos excepto el primer sistema eran completamente superfluos.
Clebsch consideró el problema de Pfaff desde un nuevo punto de vista y lo redujo a sistemas de ecuaciones en derivadas parciales lineales simultáneas, las cuales pueden establecerse independientemente unas de otras sin integración alguna.
Jacobi hizo avanzar sustancialmente la teoría de las ecuaciones diferenciales de primer orden.
El problema de determinar funciones desconocidas de tal manera que una integral que contenga estas funciones y sus coeficientes diferenciales, de una manera prescrita, alcance un valor máximo o mínimo, exige, en primer lugar, la anulación de la primera variación de la integral.
Esta condición conduce a ecuaciones diferenciales, cuya integración determina las funciones.
Para cerciorarse de si el valor es un máximo o un mínimo, debe examinarse la segunda variación. Esto conduce a nuevas y difíciles ecuaciones diferenciales, cuya integración, para los casos más simples, fue deducida ingeniosamente por Jacobi a partir de la integración de las ecuaciones diferenciales de la primera variación.
La solución de Jacobi fue perfeccionada por Hesse, mientras que Clebsch extendió al caso general los resultados de Jacobi sobre la segunda variación.
Cauchy dio un método para resolver ecuaciones diferenciales parciales de primer orden que tienen cualquier número de variables, el cual fue corregido y ampliado por Serret, J. Bertrand,
O. Bonnet en Francia, e Imschenetzky en Rusia.
Fundamental es la proposición de Cauchy de que toda ecuación diferencial ordinaria admite en la vecindad de cualquier punto no singular una integral, que es sinéctica dentro de cierto círculo de convergencia, y es desarrollable mediante el teorema de Taylor.
Paralelo al punto de vista indicado por este teorema es el de Riemann, quien considera una función de una sola variable como definida por la posición y la naturaleza de sus singularidades, y que ha aplicado esta