ese punto. La deducción de Gauss de la fórmula de curvatura fue simplificada mediante el uso de determinantes por Heinrich Richard Baltzer (1818–1887) de Giessen.69
Gauss obtuvo un teorema interesante: si una superficie es desarrollada (abgewickelt) sobre otra, la medida de curvatura permanece inalterada en cada punto. La cuestión de si dos superficies que tienen la misma curvatura en puntos correspondientes pueden desenrollarse una sobre la otra fue respondida por F. Minding en afirmativo solo cuando la curvatura es constante. El caso de curvatura variable es difícil, y fue estudiado por Minding, J. Liouville (1806–1882), de la Politécnica
Escuela de París, Ossian Bonnet de París (fallecido en 1892).
La medida de curvatura de Gauss, expresada como una función de coordenadas curvilíneas, dio un impulso al estudio de los invariantes diferenciales, o parámetros diferenciales, que han sido investigados por Jacobi, C. Neumann, sir James Cockle,
Halphen, y elaborado en una teoría general por Beltrami,
S. Lie y otros. Beltrami también demostró la conexión entre la medida de curvatura y los axiomas geométricos.
Varias investigaciones se han agrupado bajo el título de «analysis situs». El tema fue investigado por primera vez
Leibniz, y fue tratado más tarde por Gauss, cuya teoría de nudos (Verschlingungen) ha sido empleada recientemente por J. B. Listing, O. Simony, F. Dingeldey y otros en sus «estudios topológicos».
Tait fue conducido al estudio de los nudos por la teoría de átomos de vórtice de Sir William Thomson.
En manos de Riemann, el analysis situs tenía por objeto la determinación de lo que permanece inalterado bajo transformaciones provocadas por una combinación de distorsiones infinitesimales. Como continuación de su trabajo, Walter Dyck, de Múnich, escribió sobre el analysis situs de los espacios tridimensionales.
De los manuales de geometría aún no mencionados, debe hacerse referencia a las Vorlesungen über Geometrie de Alfred Clebsch, editadas por Ferdinand Lindemann, actualmente en Múnich; al de Frost