La teoría de Riemann, tal como se basa en el principio de Dirichlet (el teorema de Thomson), no está libre de objeciones.
Se ha hecho evidente que la existencia de una función derivada no es consecuencia de la continuidad, y que una función puede ser integrable sin ser diferenciable.
No se sabe hasta qué punto los métodos del cálculo infinitesimal y del cálculo de variaciones (mediante los cuales se establece el principio de Dirichlet) pueden aplicarse a una función analítica desconocida en su generalidad.
De ahí que el uso de estos métodos dotará a las funciones de propiedades que por sí mismas requieren demostración. Objeciones de este tipo a la teoría de Riemann han sido planteadas por Kronecker,
Weierstrass y otros, y se ha puesto en duda si sus teoremas más importantes están realmente demostrados. Como consecuencia de esto, se ha intentado injertar las especulaciones de Riemann en los métodos de raíces más firmes de Weierstrass. Este último desarrolló una teoría de funciones partiendo, no de la teoría del potencial, sino de expresiones y operaciones analíticas. Ambos aplicaron sus teorías a las funciones abelianas, pero en ese aspecto el trabajo de Riemann es más general.86
La teoría de las funciones de una variable compleja ha sido estudiada desde la época de Riemann principalmente por Karl Weierstrass de
Berlín (nacido en 1815), Gustaf Mittag-Leffler de Estocolmo (nacido
1846), y Poincaré de París.
De las tres clases de tales funciones (a saber, funciones uniformes en todas partes, funciones uniformes únicamente en espacios lagunares y funciones no uniformes), Weierstrass demostró que aquellas funciones de la primera clase que pueden desarrollarse según potencias crecientes de en series convergentes, pueden descomponerse en un producto de un número infinito de factores primarios.
Un factor primario de la especie es el producto , siendo un polinomio entero de grado .
Una función de la especie es aquella cuyos factores primarios son todos de la especie . Esta clasificación dio lugar a muchos problemas interesantes estudiados también por Poincaré.
La primera de las tres clases de funciones de una variable compleja abarca, entre otras, funciones que poseen un número infinito de puntos singulares, pero ninguna línea singular y, al mismo tiempo, ningún punto singular aislado.
Estas son las funciones fucsianas, que existen en toda su extensión. Poincaré dio por primera vez un ejemplo de tal función.
Las funciones uniformes de dos variables, inalteradas por ciertas sustituciones lineales, llamadas funciones hiperfuchsianas, han sido estudiadas por E. Picard, de París, y por Poincaré.81