(5) Todo número es un número triangular o la suma de dos o tres números triangulares; un cuadrado o la suma de dos, tres o cuatro cuadrados; un número pentagonal o la suma de dos, tres, cuatro o cinco números pentagonales; y de manera similar para los números poligonales en general.
La demostración de este y otros teoremas es prometida por Fermat en una obra futura que nunca llegó a aparecer. Este teorema también figura, junto con otros, en una carta de 1637 (?) dirigida al padre Mersenne.
(6) Se pueden encontrar tantos números como se quiera, tales que el cuadrado de cada uno sigue siendo un cuadrado al sumarle o restarle la suma de todos los números.
(7) es imposible.
(8) En una carta de 1640 da el célebre teorema generalmente conocido como «el teorema de Fermat», que enunciamos en
Notación de Gauss: Si es primo, y es primo con , entonces . Fue demostrada por Euler.
(9) Fermat murió con la creencia de que había encontrado una ley de los números primos tan buscada en la fórmula un primo, pero admitió que era incapaz de demostrarla rigurosamente.
La ley no es cierta, tal como señaló Euler con el ejemplo .
El calculador prodigio estadounidense Zerah Colburn, cuando era niño, encontró fácilmente los factores, pero fue incapaz de explicar el método mediante el cual realizó su maravilloso cálculo mental.
(10) Un número primo impar se puede expresar como la diferencia de dos cuadrados de una, y solo una, manera. Este teorema, dado en la Relation, fue utilizado por Fermat para la descomposición de números grandes en factores primos.
(11) Si los enteros , , representan los lados de un triángulo rectángulo, entonces su área no puede ser un número cuadrado. Esto fue demostrado por Lagrange.
(12) La solución de Fermat para , donde es un número entero pero no un cuadrado, ha llegado hasta nosotros solo en sus rasgos más generales, tal como se expone en la Relation. Propuso el problema al francés Bernhard Frenicle de Bessy y, en 1657, a todos los matemáticos contemporáneos. En Inglaterra, Wallis y Lord Brounker hallaron conjuntamente una solución laboriosa, que se publicó en 1658 y también en 1668, en una obra de álgebra editada por John Pell. Aunque Pell no tuvo ninguna otra relación con el problema, este pasó a conocerse con el nombre de «problema de Pell». La primera solución fue dada por los hindúes.
No estamos seguros de que Fermat haya sometido todos sus teoremas a una demostración rigurosa. Sus métodos de demostración se perdieron por completo hasta 1879, año en que se encontró un documento sepultado entre los manuscritos de Huygens en la biblioteca de Leiden, titulado Relation des découvertes en la science des nombres . Parece desprenderse de él que utilizaba un método inductivo, llamado por él la descente infinie ou indefinie . Dice que este método era particularmente aplicable para demostrar la imposibilidad de ciertas relaciones,