D'Alembert lo aplicó en 1744 en un tratado sobre el equilibrio y el movimiento de los fluidos, y en 1746 a un tratado sobre las causas generales de los vientos, que obtuvo un premio de la Academia de Berlín.
En ambos tratados, así como en uno de 1747, donde discute el famoso problema de las cuerdas vibrantes, fue conducido a ecuaciones diferenciales parciales. Fue uno de los principales pioneros en el estudio de tales ecuaciones.
A la ecuación , que surge en el problema de las cuerdas vibrantes, le dio como solución general y demostró que solo hay una función arbitraria si se supone que se anula para y .
Daniel Bernoulli, partiendo de una integral particular dada por Brook Taylor, demostró que esta ecuación diferencial es satisfecha por la serie trigonométrica y afirmó que esta expresión era la solución más general. Euler negó su generalidad, basándose en que, de ser cierto, se seguiría la dudosa conclusión de que la serie anterior representa cualquier función arbitraria de una variable. Estas dudas fueron disipadas por Fourier. Lagrange procedió a hallar la suma de la serie anterior, pero D'Alembert objetó con razón su procedimiento, basándose en que involucraba series divergentes.46
Un resultado hermosísimo alcanzado por D'Alembert, con la ayuda de su principio, fue la solución completa del problema de la precesión de los equinoccios, que había desconcertado el talento de las mejores mentes.
Envió a la Academia Francesa en 1747, el mismo día que Clairaut, una solución del problema de los tres cuerpos. Este se había convertido en un tema de interés universal para los matemáticos, en el cual cada uno rivalizaba para superar a todos los demás.
El problema de los dos cuerpos, que requiere la determinación de su movimiento cuando se atraen mutuamente con fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia entre ellos, había sido completamente resuelto por Newton.
El «problema de los tres cuerpos» plantea el movimiento de tres cuerpos que se atraen mutuamente según la ley de la gravitación. Hasta ahora, la solución completa de este ha superado el poder del análisis. Las ecuaciones diferenciales generales del movimiento fueron establecidas por Laplace, pero la dificultad radica en su integración.
Las «soluciones» dadas hasta ahora son meramente métodos convenientes de aproximación en casos especiales cuando un cuerpo es el sol, perturbando el movimiento de la luna alrededor de la tierra, o donde un planeta se mueve bajo la influencia del sol y otro planeta.
En la discusión sobre el significado de las cantidades negativas, de los procesos fundamentales del cálculo y de la teoría de la probabilidad, D'Alembert prestó cierta atención a la filosofía de las matemáticas.
Sus críticas no siempre fueron acertadas.
En 1754 fue nombrado secretario perpetuo de la Academia Francesa.
Durante los últimos años de su vida se ocupó principalmente de la gran enciclopedia francesa, que había sido iniciada por Diderot y por él mismo. D'Alembert declinó, en 1762, una invitación de