Al plantear x = t 3 − u 3 , Tartaglia percibió que los irracionales desaparecían de la ecuación x 3 + m x = n , haciendo que n = t − u . Pero esta última igualdad, junto con ( 1 3 m ) 3 = t u , da inmediatamente t = ( n 2 ) 3 + ( m 3 ) 3 + n 2 , u = ( n 2 ) 2 + ( m 2 ) 3 − n 2 .
Esta es la solución de Tartaglia para .
El 13 de febrero encontró una solución similar para .
El concurso comenzó el 22. Cada concursante propuso treinta problemas. El que pudiera resolver el mayor número en un plazo de cincuenta días sería el vencedor.
Tartaglia resolvió en dos horas los treinta problemas propuestos por Floridas; Floridas no pudo resolver ninguno de los de Tartaglia.
A partir de entonces, Tartaglia estudió las ecuaciones cúbicas con ahínco.
En 1541 descubrió una solución general para la cúbica , transformándola en la forma .
La noticia de la victoria de Tartaglia se difundió por toda Italia.
Se le suplicó a Tartaglia que diera a conocer su método, pero se negó a hacerlo, diciendo que tras terminar su traducción de Euclides desde el griego y
Arquímedes, publicaría un gran tratado de álgebra que contendría su método. Pero un erudito de Milán, llamado Hieronimo Cardano (1501-1576), tras muchas súplicas y de dar las más solemnes y sagradas promesas de secreto, logró obtener de Tartaglia el conocimiento de sus reglas.
Por entonces Cardan redactaba su Ars Magna, y no halló mejor manera de coronar su obra que insertando las tan codiciadas reglas para resolver ecuaciones cúbicas. Así pues, Cardan quebrantó sus votos más solemnes y publicó en 1545, en su Ars Magna, la solución de Tartaglia para las cúbicas.
Tartaglia se desesperó. Su esperanza más querida, la de ofrecer al mundo una obra inmortal que fuera el monumento de su profundo saber y de su capacidad para la investigación original, fue destruida de repente; pues la corona destinada a su obra le había sido arrebatada.
Su primer paso fue escribir una historia de su invención; pero, para aniquilar por completo a sus enemigos, retó a Cardan y a su alumno Ludovico Ferrari a un concurso: cada parte propondría treinta y una preguntas que la otra debía resolver en un plazo de quince días.
Tartaglia resolvió la mayoría de las preguntas en siete días, pero la otra parte no envió sus soluciones antes de que expirara el quinto mes; además, todas sus soluciones excepto una eran incorrectas.
Le siguieron una réplica y una dúplica. Infinitos fueron los problemas propuestos y resueltos por ambas partes. La disputa produjo muchos disgustos y amarguras a los contendientes, y a Tartaglia en especial, quien se encontró con muchas otras desilusiones.