Gran Premio de 1892), figuran entre las investigaciones más recientes en este sentido. La enumeración de los números primos ha sido emprendida en distintas épocas por varios matemáticos.
En 1877, la Asociación Británica comenzó la preparación de tablas de factores bajo la dirección de J. W. L. Glaisher. La impresión, por parte de la Asociación, de las tablas para el sexto millón marcó la culminación de unas tablas a cuya preparación contribuyeron Alemania, Francia e Inglaterra, y que nos permiten descomponer en factores primos todo número compuesto menor de .
Contribuciones diversas a la teoría de números fueron hechas por Cauchy.
Él mostró, por ejemplo, cómo hallar todas las soluciones infinitas de una ecuación indeterminada homogénea de segundo grado en tres variables cuando se da una solución.
Estableció el teorema de que si dos congruencias, que tienen el mismo módulo, admiten una solución común, el módulo es un divisor de su resultante.
Joseph Liouville
(1809–1882), profesor en el Collège de France, investigó principalmente cuestiones sobre la teoría de las formas cuadráticas de dos y de un mayor número de variables. Profundas investigaciones fueron iniciadas por Ferdinand Gotthold Eisenstein (1823–1852), de
Berlín.
Las formas cuadráticas ternarias habían sido estudiadas en cierta medida por Gauss, pero la extensión de dos a tres indeterminadas fue obra de Eisenstein, quien, en su memoria Neue Theoreme der höheren Arithmetik, definió los caracteres ordinales y genéricos de las formas cuadráticas ternarias de determinante impar; y, en el caso de las formas definidas, asignó el peso de cualquier orden o género.
Pero no publicó las demostraciones de sus resultados. Al examinar la teoría de las formas cúbicas binarias, se vio conducido al descubrimiento del primer covariante jamás considerado en el análisis. Mostró que la serie de teoremas relativos a la representación de números mediante sumas de cuadrados cesa cuando el número de cuadrados supera el ocho.
Muchas de las demostraciones omitidas por Eisenstein fueron aportadas por Henry Smith, quien fue uno de los pocos ingleses que se dedicaron al estudio de la aritmética superior.
Henry John Stephen Smith[]90 (1826–1883) nació en Londres y se educó en Rugby y en el Balliol College de Oxford. Antes de 1847 viajó mucho por Europa debido a su salud y en una ocasión asistió a las conferencias de Arago en París, pero a partir de ese año nunca se ausentó de Oxford ni un solo trimestre. En 1861 fue elegido profesor saviliano de geometría.
Su primer artículo sobre la teoría de los números apareció en 1855. Los resultados de diez años de estudio de todo lo publicado sobre la teoría de los números se encuentran en sus Informes, que aparecieron en los volúmenes de la Asociación Británica de 1859 a 1865. Estos informes son un modelo de exposición clara y precisa, y de perfección en la forma.