Vieta to Descartes

Los logaritmos fueron inventados por John Napier, barón de Merchiston, en Escocia.

(1550–1617).

Es una de las mayores curiosidades de la historia de la ciencia que Napier construyera los logaritmos antes de que se utilizaran los exponentes. Sin duda, Stifel y Stevin hicieron algunos intentos de denotar potencias mediante índices, pero esta notación no era de conocimiento general, ni siquiera para Harriot, cuya álgebra apareció mucho después de la muerte de Napier.

Que los logaritmos se derivan naturalmente del símbolo exponencial no se observó hasta mucho más tarde. Fue Euler quien primero consideró los logaritmos como índices de potencias. ¿Cuál fue, entonces, el razonamiento de Napier?

Sea $AB$ una línea definida, $DE$ una línea que se extiende desde $D$ indefinidamente. Imagínese dos puntos que parten de un mismo

[width=2.5in]./images/176a.pdf momento; el uno moviéndose desde $A$ hacia $B$, el otro desde $D$ hacia $E$. Sea la velocidad durante el primer momento la misma para ambos: sea la del punto sobre la línea $DE$ uniforme; pero la velocidad del punto sobre $AB$ decreciendo de tal manera que cuando llega a cualquier punto $C$, su velocidad es proporcional a la distancia restante $BC$. Mientras el primer punto recorre una distancia $AC$, el segundo recorre una distancia $DF$. Neper llama a $DF$ el logaritmo de $BC$.

El proceso de Napier es tan único y tan diferente de todos los demás modos de presentar el tema que no puede caber la menor duda de que esta invención es enteramente suya; es el resultado de la especulación solitaria y sin ayuda.

Primero buscó los logaritmos únicamente de los senos; la línea $AB$ era el seno de $90°$ y se tomó $={10}^7$; $BC$ era el seno del arco, y $DF$ su logaritmo. Observamos que a medida que avanza el movimiento, $BC$ disminuye en progresión geométrica, mientras que $DF$ aumenta en progresión aritmética.

Sea $AB=a={10}^7$, sea $x=DF$,

$y=BC$, entonces $AC=a-y$. La velocidad del punto $C$ es ${\displaystyle \frac{d(a-y)}{dt}}=y$; esto da $-\mathrm{\backslash natlog}y=t+c$. Cuando $t=0$, entonces $y=a$ y $c=-\mathrm{\backslash natlog}a$.

Nuevamente, sea ${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=a$ la velocidad del punto $F$, entonces $x=at$. Sustituyendo $t$ y $c$ por sus valores y recordado que $a={10}^7$ y que por definición $x=\mathrm{\backslash Naplog}y$, obtenemos $\mathrm{\backslash Naplog}y={10}^7\mathrm{\backslash natlog}\frac{{10}^7}{y}.$

Es evidente a partir de esta fórmula que los logaritmos de Neper no son los mismos que los logaritmos naturales. Los logaritmos de Neper aumentan a medida que el número mismo disminuye. Él tomó el logaritmo de sin 90 = 0 ; es decir, el logaritmo de 10 7 = 0 . El logaritmo de sin α aumentaba desde cero a medida que α disminuía desde 90 ° . La génesis de los logaritmos de Neper a partir de la concepción de dos puntos en movimiento nos recuerda a la doctrina de las fluxiones de Newton. La relación entre las progresiones geométrica y aritmética, utilizada con tanta destreza por Neper, había sido observada por Arquímedes, Stifel y otros.