Publicó una serie de artículos, cuyos principales resultados fueron recopilados en su Théorie analytique des probabilités (1812). La tercera edición (1820) consta de una introducción y dos libros. * La introducción se publicó por separado bajo el título Essai philosophique sur les probabilités, y es una exposición admirable y magistral, sin la ayuda de fórmulas analíticas, de los principios y aplicaciones de la ciencia. * El primer libro contiene la teoría de las funciones generatrices, las cuales se aplican, en el segundo libro, a la teoría de la probabilidad. Laplace expone en su obra sobre la probabilidad su método de aproximación a los valores de las integrales definidas. La solución de ecuaciones diferenciales lineales fue reducida por él a integrales definidas. > Una de las partes más importantes de la obra es la aplicación de la probabilidad al método de los mínimos cuadrados, del cual se demuestra que ofrece los resultados más probables además de los
La primera exposición impresa del principio de los mínimos cuadrados fue realizada en 1806 por Legendre, sin demostración.
Gauss lo había utilizado aún antes, pero no lo publicó hasta 1809. La primera deducción de la ley de probabilidad de errores que apareció en imprenta fue dada en 1808 por Robert Adrain en el
Analyst, una revista publicada por él mismo en Filadelfia.2 Desde entonces, Gauss, Ivory,
Herschel, Hagen y otros; pero todas las demostraciones contienen algún punto de dificultad. La demostración de Laplace es quizás la más satisfactoria.
El trabajo de Laplace sobre la probabilidad es de lectura muy difícil, particularmente la parte sobre el método de los mínimos cuadrados. Los procesos analíticos no están en absoluto claramente establecidos ni exentos de errores.
«Nadie estuvo más seguro de dar el resultado de los procesos analíticos correctamente, y nadie se preocupó jamás tan poco por señalar las diversas pequeñas consideraciones de las que depende dicha corrección» (De Morgan).
De los artículos de Laplace sobre la atracción de los elipsoides, el más importante es el publicado en 1785, y en gran parte reimpreso en el tercer volumen de la Mécanique Céleste. En él se ofrece un tratamiento exhaustivo del problema general de la atracción de cualquier elipsoide sobre una partícula situada en el exterior o en su superficie.
Los armónicos esféricos, o los llamados "coeficientes de Laplace", constituyen un potente instrumento analítico en la teoría de la atracción, en la electricidad y en el magnetismo. La teoría de los armónicos esféricos para dos dimensiones había sido dada previamente por Legendre. Laplace omitió el debido reconocimiento de esto y, como consecuencia, existió entre los dos grandes hombres "un sentimiento más que de frialdad".
La función potencial, , es muy utilizada por