De este modo llegó por sí mismo al teorema de que la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Su padre lo sorprendió en el acto de estudiar este teorema, y quedó tan asombrado ante la sublimidad y la fuerza de su genio que lloró de alegría. El padre le entregó entonces los Elementos de Euclides, los cuales él, sin ayuda, dominó con facilidad.
Siendo sus estudios ordinarios los idiomas, el muchacho empleaba únicamente sus horas de ocio en el estudio de la geometría, mas tenía una penetración tan rápida y viva que, a la edad de dieciséis años, escribió un tratado sobre las cónicas que pasó por un esfuerzo de genio tan sorprendente que se dijo que no se había producido nada igual en solidez desde los tiempos de Arquímedes.
Descartes se negó a creer que hubiera sido escrito por alguien tan joven como Pascal.
Este tratado nunca fue publicado, y hoy en día está perdido. Leibniz lo vio en París e informó sobre una parte de su contenido.
El precoz joven hizo vastos progresos en todas las ciencias, pero la aplicación constante a tan tierna edad mermó considerablemente su salud. Aun así, continuó trabajando y, a los diecinueve años, inventó su famosa máquina para realizar operaciones aritméticas de forma mecánica. Esta tensión continua por el exceso de trabajo dio lugar a una indisposición permanente, y solía decir que, desde los dieciocho años, jamás pasó un solo día sin dolor.
A la edad de veinticuatro años decidió dejar a un lado el estudio de las ciencias humanas y consagrar su talento a la religión.
Sus Cartas provinciales contra los jesuitas son célebres. Pero a veces regresaba al estudio favorito de su juventud.
Mantenido despierto una noche por un dolor de muelas, acudieron involuntariamente a su cabeza algunos pensamientos relativos a la ruleta o cicloide; una idea siguió a otra y descubrió así propiedades de esta curva hasta la demostración misma.
Una correspondencia entre él y Fermat sobre ciertos problemas fue el origen de la teoría de la probabilidad.
La enfermedad de Pascal se agravó, y murió en París a la temprana edad de treinta y nueve años.30
Por él, la respuesta a la objeción al Método de los Indivisibles de Cavalieri fue expuesta de la forma más clara. Como
Roberval, él explicó que "la suma de líneas rectas" significaba "la suma de rectángulos infinitamente pequeños". Pascal hizo avanzar enormemente el conocimiento de la cicloide. Determinó el área de una sección producida por cualquier línea paralela a la base; el volumen generado por su revolución alrededor de su base o alrededor del eje; y, finalmente, los centros de gravedad de estos volúmenes, así como también de la mitad de estos volúmenes cortados por planos de simetría. Antes de publicar sus resultados, envió, en 1658, a todos los matemáticos aquel famoso desafío ofreciendo premios por las primeras dos soluciones de estos problemas. Solo Wallis y A. La Louère compitieron por ellos. Este último era muy incapaz para la tarea; el