Teoría de Números

Contienen gran cantidad de material original, pero los principales resultados de sus propios descubrimientos se imprimieron en las Philosophical Transactions de 1861 y 1867. Tratan sobre ecuaciones lineales indeterminadas y congruencias, y sobre los órdenes y géneros de formas cuadráticas ternarias. Estableció los principios de los cuales depende la extensión al caso general de $n$ indeterminadas de formas cuadráticas.

También contribuyó con dos memorias a las Proceedings de la Real Sociedad de 1864 y 1868, en la segunda de las cuales observa que los teoremas de Jacobi, Eisenstein y Liouville relativos a la representación de números mediante $4$ , $6$ , $8$ cuadrados y otras formas cuadráticas simples pueden deducirse mediante un método uniforme a partir de los principios indicados en su artículo.

Eisenstein dio teoremas relativos al caso de $5$ cuadrados, pero Smith completó el enunciado de estos y añadió los teoremas correspondientes para $7$ cuadrados.

La solución de los casos de $2$ , $4$ , $6$ cuadrados puede obtenerse mediante funciones elípticas, pero cuando el número de cuadrados es impar, implica procesos peculiares de la teoría de números. Esta clase de teoremas se limita a $8$ cuadrados, y Smith completó el grupo.

Sin tener conocimiento de las investigaciones de Smith, la Academia Francesa ofreció un premio por la demostración y finalización de los teoremas de Eisenstein para $5$ cuadrados. Esto Smith lo había logrado quince años antes. Presentó una disertación en 1882, y al año siguiente, un mes después de su muerte, se le concedió el premio, otorgándose también otro premio a H. Minkowsky, de Bonn.

La teoría de números condujo a Smith al estudio de las funciones elípticas. Escribió también sobre geometría moderna.

Su sucesor en Oxford fue J. J. Sylvester.

Ernst Eduard Kummer (1810–1893), profesor en la Universidad de Berlín, está estrechamente identificado con la teoría de números. El trabajo de Dirichlet sobre números complejos de la forma $a + i b$ , introducidos por Gauss, fue extendido por él, por Eisenstein y por Dedekind. En lugar de la ecuación $x^{4} - 1 = 0$ , cuyas raíces producen las unidades de Gauss, Eisenstein usó la ecuación

$x^{3} - 1 = 0$ y los números complejos $($ siendo $ρ$ una raíz cúbica de la unidad $)$ $a + b ρ$ , cuya teoría se asemeja a la de los números de Gauss.

Kummer pasó al caso general $x^{n} - 1 = 0$ y obtuvo números complejos de la forma $α = a_{1} A_{1} + a_{2} A_{2} + a_{3} A_{3} + \dots$ , donde los $a_{i}$ son números reales enteros, y $A_{i}$ son raíces de la ecuación anterior.59

La teoría de Euclides del máximo común divisor no es aplicable a tales números complejos, y sus factores primos no pueden definirse de la misma manera en que se definen los factores primos de los enteros comunes.

En su esfuerzo por superar esta dificultad, Kummer fue conducido a introducir la concepción de "números ideales". Estos números ideales han sido aplicados por

G. Zolotareff, de San Petersburgo, a la solución de un problema del cálculo integral, dejado sin terminar por Abel (Liouville's

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