Comunes a la Ausdehnungslehre y a los cuaterniones son la adición geométrica, la función de dos vectores representada en los cuaterniones por y , y las funciones vectoriales lineales.
El cuaternión es exclusivo de Hamilton, mientras que en Grassmann encontramos, además del álgebra de vectores, un álgebra geométrica de amplia aplicación y que se asemeja al Barycentrische de Möbius
Cálculo, en el que el punto es el elemento fundamental. Grassmann desarrolló la idea del "producto externo", el "producto interno" y el "producto abierto". A este último lo llamamos hoy matriz.
Su Ausdehnungslehre tiene una extensión muy grande, sin limitación a ningún número particular de dimensiones. Solo en años recientes se ha empezado a apreciar la maravillosa riqueza de sus descubrimientos.
Una segunda edición de la Ausdehnungslehre de 1844 se imprimió en 1877. C. S. Peirce dio una representación del sistema de Grassmann en la notación lógica, y E. W. Hyde, de la Universidad de Cincinnati, escribió el primer libro de texto sobre el cálculo de Grassmann en idioma inglés.
Descubrimientos de menor valor, que en parte cubrieron los de Grassmann y Hamilton, fueron hechos por Saint-Venant (1797-1886), quien describió la multiplicación de vectores, y la suma de vectores y áreas orientadas; por Cauchy, cuyas "clefs algébriques" eran unidades sujetas a la multiplicación combinatoria, y que fueron aplicadas por el autor a la teoría de la eliminación del mismo modo que lo había hecho anteriormente Grassmann; por Justus Bellavitis (1803-1880), quien publicó en 1835 y 1837 en los Annali delle Scienze su cálculo de equipolencias.
Bellavitis, profesor en Padua durante muchos años, fue un matemático autodidacta de gran talento, que a los treinta y ocho años abandonó un cargo municipal en su localidad natal, Bassano, para poder dedicar su tiempo a la ciencia.65
La primera impresión de las ideas de Grassmann se manifiesta en los escritos de Hermann Hankel (1839–1873), quien publicó en
1867 sus Vorlesungen über die Complexen Zahlen. Hankel, entonces docente en Leipzig, había estado en correspondencia con Grassmann. Los «números alternantes» de Hankel están sujetos a su ley de multiplicación combinatoria.
Al considerar los fundamentos del álgebra, Hankel afirma el principio de la permanencia de las leyes formales enunciado previamente de forma incompleta por Peacock. Hankel fue un atento estudioso de la historia de las matemáticas y dejó una obra inconclusa sobre la materia. Antes de su muerte fue profesor en Tübingen. Su Vorlesungen über die Complexen Zahlen fue al principio poco leída, y debemos recurrir a Victor Schlegel, de Hagen, como el intérprete exitoso de Grassmann.
Schlegel was at one time a young colleague of Grassmann at the Marienstifts-Gymnasium in Stettin. Encouraged by Clebsch, Schlegel wrote a System der Raumlehre which explained the essential conceptions and operations of the Ausdehnungslehre.
El álgebra múltiple recibió un poderoso impulso gracias a Peirce, cuya teoría no es geométrica, como lo son las de Hamilton y Grassmann.