"Será útil escribir ∫ en lugar de omn., como ∫ l en lugar de omn. l , es decir, la suma de las l "; a continuación, escribe la ecuación de este modo:-- ∫ l 2 ― 2 a = ∫ ∫ l ¯ l a ― . A partir de esto dedujo las integrales más simples, tales como ∫ x = x 2 2 , ∫ ( x + y ) = ∫ x + ∫ y .
Como el símbolo de la suma eleva las dimensiones, concluyó que el cálculo opuesto, o el de las diferencias , las disminuiría. Así, si , entonces .
El símbolo fue colocado al principio por Leibniz en el denominador, porque la disminución de la potencia de un término se lograba en el cálculo ordinario mediante la división. El manuscrito que presenta lo anterior está fechado el 29 de octubre de 1675.39
Este fue, pues, el día memorable en que nació la notación del nuevo cálculo, una notación que contribuyó enormemente al rápido crecimiento y al perfecto desarrollo del cálculo.
Leibniz procedió a aplicar su nuevo cálculo a la solución de ciertos problemas agrupados entonces bajo el nombre de los Problemas Inversos de Tangentes. Halló que la parábola cúbica era la solución al siguiente: Hallar la curva en la que el subnormal es recíprocamente proporcional a la ordenada. La exactitud de su solución fue comprobada por él aplicando al resultado el método de tangentes de Sluze y razonando en sentido inverso hasta llegar a la suposición original.
En la solución del tercer problema cambia su notación de a la ahora habitual notación .
Es digno de mención que en estas investigaciones Leibniz no explica en ninguna parte el significado de y , excepto en un lugar de una nota al margen: "Idem est et , id est, differentia inter duas proximas".
Tampoco utiliza el término diferencial, sino siempre diferencia. No fue hasta diez años después, en las Acta Eruditorum, cuando dio más explicaciones sobre estos símbolos.
A lo que aspiraba principalmente era a determinar el cambio que experimenta una expresión cuando se coloca ante ella el símbolo o .
Puede ser un consuelo para los estudiantes que batallan con los elementos del cálculo diferencial saber que a Leibniz le costó considerable reflexión y atención[39] determinar si es lo mismo que , y lo mismo que . Tras considerar estas cuestiones al final de uno de sus manuscritos, concluyó que las expresiones no eran las mismas, aunque no pudo dar el valor correcto para cada una. Diez días después, en un manuscrito fechado el 21 de noviembre de 1675, halló la ecuación , la cual proporcionaba una expresión para que observó que era verdadera para todas las curvas. También logró eliminar de una ecuación diferencial, de modo que esta solo contenía , y condujo así a la solución del problema en cuestión.
«¡He aquí un modo de los más elegantes mediante el cual se resuelven los problemas de los métodos inversos de las tangentes, o al menos se reducen a cuadraturas!»