El progreso del álgebra en los últimos tiempos puede considerarse bajo tres encabezados principales:
- el estudio de las leyes fundamentales y el nacimiento de nuevas álgebras,
- el crecimiento de la teoría de ecuaciones, y
- el desarrollo de lo que se denomina álgebra superior moderna.
Ya hemos hablado de George Peacock y D. F.
Gregory en relación con las leyes fundamentales del álgebra.
Mucho se hizo en este sentido por De Morgan.
Augustus De Morgan (1806–1871) nació en Madura (Madras) y se formó en el Trinity College de Cambridge. Sus escrúpulos sobre las doctrinas de la Iglesia establecida le impidieron obtener el grado de maestría (M.A.) y optar a una cátedra de investigación (fellowship).
En 1828 se convirtió en profesor de la recién fundada Universidad de Londres y enseñó allí hasta 1867, a excepción de cinco años, de 1831 a 1835. De Morgan fue un personaje singular y varonil, y un profesor sobresaliente.
El valor de su obra original no radica tanto en aumentar nuestro caudal de conocimientos matemáticos como en situarlo por completo sobre una base rigurosamente lógica. Sentía agudamente la falta de un razonamiento riguroso en las matemáticas tal como las recibió. Dijo una vez:
"Sabemos que a los matemáticos les importa la lógica tanto como a los logicians las matemáticas. Los dos ojos de la ciencia exacta son las matemáticas y la lógica: la secta matemática le saca el ojo lógico, la secta lógica le saca el ojo matemático; creyendo cada una que puede ver mejor con un ojo que con dos".
De Morgan veía con ambos ojos. Analizó la lógica matemáticamente y estudió el análisis lógico de las leyes, los símbolos y las operaciones de las matemáticas; escribió una Lógica formal, así como un Álgebra doble, y mantuvo correspondencia tanto con Sir William Hamilton, el metafísico, como con Sir William
Rowan Hamilton, el matemático.
Pocos contemporáneos estaban tan profundamente leídos en la historia de las matemáticas como lo estaba De Morgan. Ningún tema era demasiado insignificante para recibir su atención. La autoría de «Cocker's Arithmetic» y el trabajo de los cuadradores del círculo fueron investigados con tanta minuciosidad como la historia de la invención del cálculo.
Numerosos artículos suyos yacen dispersos en los volúmenes de las Penny y English Cyclopædias. Su Differential Calculus, de 1842, sigue siendo una obra de referencia y contiene mucho que es original del autor. Para la Encyclopædia Metropolitana escribió sobre el cálculo de funciones (aportando principios de razonamiento simbólico)