Wren, Newton y otros conjeturaron que, si la tercera ley de Kepler era verdadera (en ese momento se dudaba de su absoluta exactitud), entonces la atracción entre la tierra y los demás miembros del sistema solar variaba de manera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Pero faltaba la demostración de la veracidad o falsedad de dicha conjetura. En 1666 Newton razonó, en esencia, que si g representa la aceleración de la gravedad en la superficie de la tierra, r es el radio terrestre, R la distancia de la luna a la tierra, T el tiempo de la revolución lunar y a un grado en el ecuador, entonces, si la ley es verdadera, g r 2 R 2 = 4 π 2 R T 2 , o g = 4 π T 2 ( R r ) 3 · 180 a .
Los datos de que disponía Newton daban , segundos, pero solo era en lugar de millas inglesas. Este valor erróneo de hizo que el valor calculado de fuera menor que su valor real, tal como se conocía a partir de mediciones reales.
Parecía como si la ley del inverso de los cuadrados no fuera la ley verdadera, y Newton dejó el cálculo de lado.
En 1684 supo casualmente en una reunión de la Royal Society que Jean Picard había medido un arco del meridiano y obtenido un valor más preciso para el radio de la tierra.
Tomando el valor corregido de , halló una cifra para que correspondía al valor conocido. Así quedó verificada la ley del inverso de los cuadrados.
En un escolio de los Principia, Newton reconoció su deuda con Huygens por las leyes sobre la fuerza centrífuga empleadas en su cálculo.
El examen por parte del astrónomo Adams de una gran masa de cartas y manuscritos inéditos de Newton que forman la colección Portsmouth (la cual permaneció como propiedad privada hasta 1872, año en que su propietario la puso en manos de la Universidad de Cambridge) parece indicar que las dificultades con las que se encontró Newton en el cálculo anterior eran de otra naturaleza.
Según Adams, la verificación numérica de Newton era bastante completa en 1666, pero Newton no había sido capaz de determinar cuál sería la atracción de una capa esférica sobre un punto exterior. Sus cartas a Halley muestran que no suponía que la tierra atraía como si toda su masa estuviera concentrada en un punto en el centro. No podría haber afirmado, por tanto, que la ley de la gravedad supuesta quedaba verificada por las cifras, aunque para grandes distancias podría haber sostenido que arrojaba aproximaciones muy cercanas.
Cuando Halley visitó a Newton en 1684, le pidió a Newton que determinara cuál sería la órbita de un planeta si la ley de atracción fuera la de los inversos de los cuadrados. Newton había resuelto un problema similar para Hooke en 1679, y respondió de inmediato que era una elipse.
Tras la visita de Halley, Newton, con el nuevo valor de Picard para el radio de la tierra, revisó su cálculo anterior y pudo demostrar que si las distancias entre los cuerpos del sistema solar eran tan grandes que los cuerpos podían considerarse como puntos, entonces sus movimientos se ajustaban a la ley de la gravitación supuesta. En 1685 completó su descubrimiento al demostrar que una esfera cuya densidad en cualquier punto depende únicamente de la distancia desde el centro atrae a un punto exterior como si toda su masa estuviera concentrada en el centro.34
Los manuscritos inéditos de Newton en la colección Portsmouth muestran que había calculado, mediante fluxiones y fluentes, sus cálculos lunares con un mayor grado de aproximación que el dado en los Principia, pero