La práctica recurrente de plantear problemas de desafío fue inaugurada en esta época por Leibniz. Al principio no pretendían ser provocaciones, sino meros ejercicios sobre el nuevo cálculo.
Tal fue el problema de la curva isócrona (encontrar la curva a lo largo de la cual un cuerpo cae con velocidad uniforme), propuesto por él a los cartesianos en 1687, y resuelto por el propio Jakob Bernoulli, él mismo y Johann Bernoulli.
Jakob Bernoulli propuso en el Leipzig Journal la cuestión de hallar la curva (la catenaria) formada por una cadena de peso uniforme suspendida libremente por sus extremos. Fue resuelta por Huygens,
Leibniz, y él mismo. En 1697, John Bernoulli desafió a los mejores matemáticos de Europa a resolver el difícil problema de hallar la curva (la cicloide) a lo largo de la cual un cuerpo cae de un punto a otro en el tiempo más corto posible.
Leibniz lo resolvió el día en que lo recibió. Newton, de l'Hospital y los dos Bernoulli dieron soluciones. La de Newton apareció anónimamente en las Philosophical Transactions, pero John Bernoulli reconoció en ella su poderosa mente, «tanquam», dice, «ex ungue leonem».
El problema de las trayectorias ortogonales (dado un sistema de curvas descritas por una ley conocida, describir una curva que las corte a todas en ángulos rectos) había sido propuesto hacía tiempo en los Acta Eruditorum, pero al principio no recibió mucha atención. Fue propuesto nuevamente en 1716 por Leibniz, para tomarle el pulso a los matemáticos ingleses.
Esto puede considerarse como el primer problema de desafío dirigido expresamente a los ingleses. Newton lo resolvió la misma tarde en que se le entregó, aunque estaba muy fatigado por el trabajo del día en la casa de la moneda.
Su solución, tal como se publicó, era más bien un plan general de investigación que una solución real y, por ello, Bernoulli la criticó por considerarla carente de valor. Brook Taylor emprendió su defensa, pero terminó empleando un lenguaje muy censurable.
Bernoulli no se quedó atrás en grosería y dio una respuesta amarga. No mucho después, Taylor envió un desafío abierto a los matemáticos continentales sobre un problema relativo a la integración de una fluxión de forma complicada que era conocido por muy pocos geómetras en Inglaterra y se suponía que iba más allá de las capacidades de sus adversarios.
La selección fue poco acertada, pues Bernoulli ya había explicado mucho antes el método de esta y similares integraciones. No sirvió más que para demostrar la habilidad y acrecentar el triunfo de los seguidores de Leibniz.
El último y más torpe desafío fue el de John Keill. El problema consistía en hallar la trayectoria de un proyectil en un medio que ofrece resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad. Sin asegurarse primero de que él mismo podía resolverlo, Keill desafió audazmente a Bernoulli a presentar una solución.
Este último resolvió la cuestión en muy poco tiempo, no solo para una resistencia proporcional al cuadrado, sino a cualquier potencia de la velocidad. Sospechando la debilidad del adversario, ofreció repetidamente enviar su solución a una persona de confianza en Londres, con la condición de que Keill hiciera lo mismo. Keill nunca respondió, y Bernoulli lo insultó y se regodeó cruelmente a su costa.26