= \dfrac{4}{1 + \dfrac{1\Fstr }{2 + \dfrac{9\Fstr }{2 + \dfrac{25\Fstr }{2 + \dfrac{49\Fstr }{2 + \text{etc.}\Fstr } } } } }$ Las fracciones continuas, tanto ascendentes como descendentes, ya parecen haber sido conocidas por los griegos y los hindúes, aunque no con nuestra notación actual. La expresión de Brouncker dio origen a la teoría de las fracciones continuas.
El método de cuadraturas de Wallis fue estudiado diligentemente por sus discípulos. Lord Brouncker obtuvo la primera serie infinita para el área de una hipérbola equilátera entre sus asíntotas. Nicolaus Mercator, de Holstein, quien se había establecido en Inglaterra, dio una serie similar en su Logarithmotechnia (Londres, 1668).
Comenzó con la gran propiedad de la hipérbola equilátera, descubierta en 1647 por Gregory St. Vincent, que relacionaba el espacio hiperbólico entre las asíntotas con los logaritmos naturales y llevó a que estos logaritmos fueran llamados hiperbólicos. Mediante ella, Mercator llegó a la serie logarítmica, que Wallis había intentado obtener sin éxito. Mostró cómo la construcción de tablas logarítmicas podía reducirse a la cuadratura de espacios hiperbólicos.
Siguiendo algunas sugerencias de Wallis, William Neil logró rectificar la parábola cúbica, y Wren, cualquier arco cicloidal.
Un destacado matemático inglés y contemporáneo de Wallis fue Isaac Barrow (1630-1677). Fue profesor de matemáticas en Londres y, posteriormente, en Cambridge, pero en 1669 renunció a su cátedra en favor de su ilustre discípulo, Isaac Newton, y abandonó el estudio de las matemáticas por el de la teología.
Como matemático, es célebre sobre todo por su método de las tangentes. Simplificó el método de Fermat al introducir dos infinitesimales en lugar de uno, y se aproximó al razonamiento seguido después por Newton en su doctrina de las Razones Últimas.
Él consideró el triángulo rectángulo infinitesimal que tenía
[width=2.125in]./images/212a.pdf
por lados la diferencia entre dos ordenadas sucesivas, la distancia entre ellas y la porción de curva interceptada entre ambas. Este triángulo es semejante a , formado por la ordenada, la tangente y la subtangente.
De ahí que, si conocemos la razón de a , entonces conocemos la razón de la ordenada y la subtangente, y la tangente puede construirse inmediatamente. Para cualquier curva, digamos , la razón de a se determina a partir de su ecuación de la siguiente manera:
Si recibe un incremento infinitesimal , entonces recibe un incremento , y la ecuación para la ordenada se convierte en . Puesto que , obtenemos ; despreciando las potencias superiores de los infinitesimales, tenemos , lo que da