El Renacimiento

Después de haberse recuperado de nuevo, Tartaglia comenzó, en 1556, la publicación de la obra que había tenido en mente durante tanto tiempo; pero murió antes de llegar al estudio de las ecuaciones cúbicas.

Así, el deseo más ferviente de su vida quedó inalcanzado; el hombre a quien debemos la mayor contribución al álgebra hecha en el siglo XVI fue olvidado, y su método pasó a ser considerado como el descubrimiento de Cardano y a llamarse la solución de Cardano.

Notable es el gran interés que la solución de las ecuaciones cúbicas despertó en toda Italia. Es muy natural que tras esta gran conquista los matemáticos atacaran las ecuaciones bicuadráticas. Al igual que en el caso de las cúbicas, también aquí el primer impulso lo dio Colla, quien, en 1540, propuso para su solución la ecuación

$x^{4} + 6 x^{2} + 36 = 60 x$ .

Para ser exactos, Cardano ya había estudiado casos particulares hacia 1539. Así, resolvió la ecuación $13 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x + 1$ mediante un procedimiento similar al empleado por Diofanto y los hindúes; a saber, sumando $3 x^{2}$ a ambos miembros y convirtiendo de este modo ambos números en cuadrados perfectos.

Pero Cardano no logró hallar una solución general; le correspondería a su discípulo Ferrari sostener la reputación de su maestro con el brillante descubrimiento de la solución general de las ecuaciones bicuadráticas. Ferrari redujo la ecuación de Colla a la forma $(x^{2} + 6)^{2} = 60 x + 6 x^{2}$ . Para dar también al miembro derecho la forma de un cuadrado perfecto, añadió a ambos miembros la expresión $2 (x^{2} + 6) y + y^{2}$ , que contenía una nueva cantidad incógnita $y$ . Esto le dio $(x^{2} + 6 + y)^{2} = (6 + 2 y) x^{2} + 60 x + (12 y + y^{2})$ .

La condición de que el miembro derecho sea un cuadrado perfecto se expresa mediante la ecuación cúbica $(2 y + 6) (12 y + y^{2}) = 900$ . Al extraer la raíz cuadrada de la bicuadrática, obtuvo $x^{2} + 6 + y = x 2 y + 6 + 9002 y + 6$ . Resolviendo la cúbica para ~ $y$ y sustituyendo, solo restaba determinar $x$ a partir de la cuadrática resultante. Ferrari aplicó un método similar con otras ecuaciones bicuadráticas numéricas.7

Cardano tuvo el placer de publicar este descubrimiento en su Ars Magna en 1545. A veces se le atribuye la solución de Ferrari a Bombelli, pero este no es más el descubridor de ella de lo que Cardano lo es de la solución que lleva su nombre.

A Cardán mucho le debe el álgebra. En su Ars Magna toma nota de las raíces negativas de una ecuación, calificándolas de ficticias, mientras que las raíces positivas se denominan reales. Las raíces imaginarias no las considera; los casos en los que aparecen los califica de imposibles.

Cardán también observó la dificultad en el caso irreducible de las cúbicas, que, al igual que la cuadratura del círculo, desde entonces «tanto ha atormentado la perversa ingenio de los matemáticos». Pero no comprendió su naturaleza.

Quedó reservado a Rafael Bombelli, de Bolonia, quien publicó en 1572 un álgebra de gran mérito, señalar la realidad de la expresión aparentemente imaginaria que adopta la raíz, sentando así las bases de un conocimiento más profundo de las cantidades imaginarias.