En 1766 obtuvo con dificultad permiso para partir de Berlín y aceptar una invitación de Catalina II a San Petersburgo. Poco después de su regreso a Rusia quedó ciego, pero esto no detuvo su maravillosa productividad literaria, que continuó durante diecisiete años, hasta el día de su muerte.45 Dictó a su criado su Anleitung zur Algebra (Introducción al álgebra), de 1770, que, aunque puramente elemental, es meritoria por ser uno de los primeros intentos de fundamentar los procesos básicos sobre una base sólida.
Euler escribió una inmensa cantidad de obras, cuyas principales son las siguientes:
- Introductio in analysin infinitorum, 1748, una obra que causó una revolución en las matemáticas analíticas, una disciplina que hasta entonces nunca se había presentado de una manera tan general y sistemática;
- Institutiones calculi differentialis, 1755, y Institutiones calculi integralis, 1768–1770, que fueron las obras más completas y precisas sobre el cálculo de esa época, y contuvieron no solo un resumen completo de todo lo que se conocía entonces sobre este tema, sino también las funciones Beta y Gamma y otras investigaciones originales;
- Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, que, mostrando una cantidad de genio matemático pocas veces igualada, contenía sus investigaciones sobre el cálculo de variaciones (un tema mejorado posteriormente por Lagrange), a cuya invención Euler fue conducido por el estudio de las curvas isoperimétricas, la braquistocrona en un medio resistente y la teoría de las geodésicas (temas que anteriormente habían ocupado la atención de los Bernoulli mayores y otros);
- la Theoria motuum planetarum et cometarum, 1744, la Theoria motus lunæ, 1753, la Theoria motuum lunæ, 1772, son sus principales obras sobre astronomía;
- Ses lettres à une princesse d'Allemagne sur quelques sujets de Physique et de Philosophie, 1770, fue una obra que gozó de gran popularidad.
Procedemos a mencionar las principales innovaciones e inventos de Euler. Él trató la trigonometría como una rama del análisis, introdujo (simultáneamente con Thomas Simpson en
Inglaterra) las abreviaturas actuales de las funciones trigonométricas y fórmulas simplificadas mediante el sencillo recurso de designar los ángulos de un triángulo con , , , y los lados opuestos con , , , respectivamente.
Señaló la relación entre las funciones trigonométricas y las exponenciales.
En un artículo de 1737 encontramos por primera vez el símbolo para denotar .21
Euler sentó las reglas para la transformación de coordenadas en el espacio, y dio un tratamiento analítico metódico de las curvas planas y de las superficies de segundo orden. Fue el primero en analizar la ecuación de segundo grado en tres variables, y en clasificar las superficies representadas por ella.
Mediante criterios análogos a los utilizados en la clasificación de las cónicas, obtuvo cinco especies. Ideó un método para resolver ecuaciones bicuadráticas asumiendo , con la esperanza de que lo condujera a una solución general de las ecuaciones algebraicas. El método de eliminación por resolución de una serie de ecuaciones lineales (inventado independientemente por Bézout) y el método de eliminación por funciones simétricas se deben a él.20