Con la ayuda de sus alumnos fundó una sociedad que más tarde se convirtió en la Academia de Turín. En los primeros cinco volúmenes de sus actas aparecen la mayoría de sus primeros artículos. A la edad de diecinueve años comunicó a Euler un método general para tratar los «problemas isoperimétricos», conocido hoy como el cálculo de
Variaciones. Esto despertó la viva admiración de Euler, quien amablemente retuvo por un tiempo la publicación de algunas investigaciones propias sobre este tema, para que el joven Lagrange pudiera completar sus investigaciones y reclamar la invención.
Lagrange hizo tanto como Euler por la creación del cálculo de variaciones. Tal como surgió de las manos de Euler, carecía de un fundamento analítico, y esto fue lo que aportó Lagrange. Separó los principios de este cálculo de las consideraciones geométricas mediante las cuales su predecesor los había deducido.
Euler había asumido como fijos los límites de la integral, es decir, los extremos de la curva por determinar, pero Lagrange eliminó esta restricción y permitió que todas las coordenadas de la curva variaran al mismo tiempo.
Euler introdujo en 1766 el nombre de «cálculo de variaciones» e hizo mucho para perfeccionar esta ciencia en la línea trazada por Lagrange.
Otro tema que ocupó la atención de Lagrange en Turín fue la propagación del sonido. En sus trabajos sobre este tema en las Miscellanea Taurinensia, el joven matemático se presenta como el crítico de Newton y el árbitro entre
Euler and D'Alembert. By considering only the particles which are in a straight line, he reduced the problem to the same partial differential equation that represents the motions of vibrating strings. The general integral of this was found by
de D’Alembert contenía dos funciones arbitrarias, y se empezó a discutir entonces la cuestión de si una función arbitraria podía ser discontinua. D’Alembert sostuvo la negativa frente a Euler, Daniel Bernoulli y, por último, Lagrange,–argumentando que, para determinar la posición de un punto de la cuerda en un tiempo , la posición inicial de la cuerda debía ser continua. Lagrange zanjó la cuestión en sentido afirmativo.
Mediante una aplicación constante durante nueve años, Lagrange, a la edad de veintiséis años, se encontraba en la cumbre de la fama europea. Pero sus intensos estudios habían debilitado gravemente una constitución que nunca fue robusta, y aunque sus médicos le indujeron a tomar descanso y ejercicio, su sistema nervioso nunca recuperó por completo su tono y, desde entonces, estuvo sujeto a episodios de melancolía.
En 1764, la Academia Francesa propuso como tema de un premio la teoría de la libración de la luna. Exigía una explicación, basándose en el principio de la gravitación universal, de por qué la luna muestra siempre, con muy ligeras variaciones, la misma cara a la tierra. Lagrange obtuvo el premio. Este éxito animó a la Academia a proponer como premio la teoría de los cuatro satélites de Júpiter, —un problema de seis cuerpos, más difícil que el de tres cuerpos resuelto previamente por Clairaut, D'Alembert y Euler. Lagrange superó las dificultades, pero la brevedad del tiempo no le permitió agotar el tema. Veinticuatro años después fue completado por Laplace.