primeramente mediante la resolución de la ecuación diferencial. En lugar de estudiar las propiedades de las integrales de una ecuación diferencial para todos los valores de la variable, los investigadores se contentaron al principio con el estudio de las propiedades en las proximidades de un punto dado. La naturaleza de las integrales en los puntos singulares y en los puntos ordinarios es enteramente distinta. Albert Briot
(1817–1882) y Jean Claude Bouquet (1819–1885), ambos de
Paris, estudió el caso en que, cerca de un punto singular, las ecuaciones diferenciales adoptan la forma .
Fuchs dio el desarrollo en series de las integrales para el caso particular de las ecuaciones lineales.
Poincaré hizo lo propio para el caso en que las ecuaciones no son lineales, así como para las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden.
Los desarrollos para los puntos ordinarios fueron dados por Cauchy y Madame Kowalevsky.
El intento de expresar las integrales mediante desarrollos que sean siempre convergentes y no estén limitados a puntos particulares en un plano hace necesaria la introducción de nuevas trascendentes, pues las funciones antiguas permiten la integración de solo un pequeño número de ecuaciones diferenciales.
Poincaré intentó este plan con las ecuaciones lineales, que entonces eran las mejor conocidas, habiendo sido estudiadas en la vecindad de puntos dados por Fuchs, Thomé,
Frobenius, Schwarz, Klein y Halphen. Restringiéndose a aquellas con coeficientes algebraicos racionales, Poincaré pudo integrarlas mediante el uso de funciones por él llamadas fuchsianas.81
Dividió estas ecuaciones en "familias". Si la integral de una de tales ecuaciones se somete a una cierta transformación, el resultado será la integral de una ecuación perteneciente a la misma familia.
Los nuevos trascendentes guardan una gran analogía con las funciones elípticas; mientras que la región de estas últimas puede dividirse en paralelogramos, cada uno de los cuales representa un grupo, los primeros pueden dividirse en polígonos curvilíneos, de modo que el conocimiento de la función en el interior de un polígono conlleva el conocimiento de esta en el interior de los demás.
Así llega Poincaré a lo que denomina grupos fuchsianos. Descubrió, además, que las funciones fuchsianas pueden expresarse como el cociente de dos trascendentes (theta-fuchsianas) del mismo modo en que pueden hacerlo las funciones elípticas.
Si, en lugar de sustituciones lineales con coeficientes reales, como las empleadas en los grupos anteriores, se utilizan coeficientes imaginarios, se obtienen entonces grupos discontinuos, a los que llamó kleinianos. La extensión a las ecuaciones no lineales del método aplicado de este modo a las ecuaciones lineales ha sido iniciada por Fuchs y Poincaré.