El Analyse Algébrique de 1821 contiene un tratamiento riguroso de las series. Todas las series cuya suma no se aproxima a un límite fijo a medida que el número de términos aumenta indefinidamente se denominan divergentes.
Al igual que Gauss, establece comparaciones con las series geométricas y encuentra que las series de términos positivos son convergentes o no, según que la raíz -ésima del término -ésimo, o la razón entre el término -ésimo y el término -ésimo, sea en última instancia menor o mayor que la unidad.
Para abordar algunos de los casos en los que estas expresiones se vuelven en última instancia iguales a la unidad y fallan, Cauchy estableció otras dos pruebas. Demostró que las series con términos negativos convergen cuando los valores absolutos de los términos convergen, y a partir de ello dedujo la prueba de Leibniz para series alternadas.
No se halló que el producto de dos series convergentes fuera necesariamente convergente. Medio siglo después, F. Mertens, de Graz, demostró que el teorema de Cauchy —según el cual el producto de dos series absolutamente convergentes converge hacia el producto de las sumas de ambas series— sigue siendo verdadero si, de las dos series convergentes que se van a multiplicar, tan solo una de ellas es absolutamente convergente.
El crítico más acérrimo de los antiguos métodos sobre series fue Abel. Su carta a su amigo Holmboe (1826) contiene duras críticas. Es una lectura muy interesante, incluso para los estudiantes modernos.
En su demostración del teorema del binomio estableció el teorema de que si dos series y su serie producto son todas convergentes, entonces la serie producto convergerá hacia el producto de las sumas de las dos series dadas.
Este notable resultado resolvería todo el problema de la multiplicación de series si dispusiéramos de un criterio práctico universal de convergencia para las series semiconvergentes.
Como no poseemos tal criterio, recientemente A. Pringsheim, de Múnich, y A. Voss, de Wurzburgo, han establecido teoremas que eliminan en ciertos casos la necesidad de aplicar pruebas de convergencia a la serie producto mediante la aplicación de pruebas a expresiones relacionadas más sencillas.
Pringsheim llega a las siguientes conclusiones interesantes:
El producto de dos series semiconvergentes nunca puede converger absolutamente, pero una serie semiconvergente, o incluso una serie divergente, multiplicada por una serie absolutamente convergente, puede producir un producto absolutamente convergente.
Las investigaciones de Abel y Cauchy causaron un revuelo considerable. Se cuenta que, tras una sesión científica en la que Cauchy había presentado sus primeras investigaciones sobre series, Laplace se apresuró a volver a casa y permaneció allí recluido hasta haber examinado las series de su Mécanique Céleste. ¡Por suerte, se descubrió que todas eran convergentes! No debemos concluir, sin embargo, que las nuevas ideas desplazaron de inmediato a las viejas. Por el contrario, los nuevos puntos de vista solo fueron aceptados de manera general tras una dura y larga lucha. Todavía en 1844, De Morgan comenzó un artículo sobre «series divergentes» con este tono: >