Hermite dio una solución trascendental de la ecuación quíntica que involucra integrales elípticas ( Compt. Rend. , 1858,
1865, 1866). Tras la primera publicación de Hermite, Kronecker, en
1858, en una carta a Hermite, dio una segunda solución en la cual se obtenía un resolvente simple de sexto grado.
Jerrard, en sus Mathematical Researches (1832–1835), redujo la ecuación de quinto grado a la forma trinomio mediante una extensión del método de Tschirnhausen. Esta importante reducción ya había sido efectuada en 1786 por E. S. Bring, un sueco, y dada a conocer en una publicación de la Universidad de Lund.
Jerrard, al igual que Tschirnhausen, creía que su método proporcionaba una solución algebraica general para ecuaciones de cualquier grado. En 1836, William R. Hamilton elaboró un informe sobre la validez del método de Jerrard y demostró que, mediante su proceso, la quíntica podía transformarse en cualquiera de las cuatro formas trinomias. Hamilton definió los límites de su aplicabilidad a ecuaciones superiores.
Sylvester investigó esta cuestión: ¿Cuál es el grado más bajo que puede tener una ecuación para que admita ser privada de términos consecutivos con la ayuda de ecuaciones que no superen el grado ? Llevó la investigación hasta y fue conducido a una serie de números que denominó "números de Hamilton".
Una transformación de igual importancia que la de Jerrard es la de Sylvester, quien expresó la quíntica como la suma de tres quintas potencias. Los covariantes e invariantes de las ecuaciones superiores se han estudiado mucho en los últimos años.
La demostración de Abel de que las ecuaciones de grado